第二数学归纳法

第二数学归纳法 我们高中学的数学归纳法都是皮毛吗？是不是还有很深很高级的？

高中学的数学归纳法的确只是一些很浅的皮毛。

第一，高中并没有学习数学归纳法为什么是正确的，只是告诉你按照这个步骤就可以把题证明出来。

事实上，按照规定的三步走，最终就可以得出来命题对所有自然数n都成立，这是要有原理证明的，它的原理证明需要使用皮亚诺(Peano)公理，这个只有到大学之后才会学到。

第二，数学归纳法可以有很多变形，比如跳跃数学归纳法，反向数学归纳法，跷跷板数学归纳法等等很多形式。

第三，高中学习的数学归纳法只是在证明某个命题对所有自然数都成立。

但是如果想证明某个命题对所有整数(包括负整数)都成立，甚至对所有实数都成立，那就得需要更高级的数学归纳法了。

第四，数学归纳法依赖于数字的排序，因此但凡可以进行排序的数学对象，都可以建立相应的数学归纳法。

举个最简单的例子，子集的包含关系其实就可以看成是一种顺序，比如｛1｝⊂｛1，2｝⊂｛1，2，3｝，就相当于把三个集合进行了排序，我就可以建立关于某些关于集合成立的命题的数学归纳法。

而事实上，数学里面有一门专门研究排序的学科叫序数理论，我们可以在良序集上建立更高级的数学归纳法，称为超限归纳法，用它可以证明一些更为复杂的命题。

因此关于数学归纳法本身的内容就可以写一本书，我下面只举两个最简单的例子。

一、对所有整数成立的命题证明方法：1.证明当 n=1 时成立2.假设当 n=k 时成立，3.证明当 n=k-1 时成立；再证明n=k+1 时成立例题二、对所有实数都成立的命题证明方法：1.证明存在某个闭区间[a，b]，当x∈[a，b]成立2.假设当 x=k 时成立3.证明存在某个小于等于b-a的正数L，使得当 x=k+L 时成立；再证当 x=k-L 时成立。

例题当然上面只是两个最最简单的例子，有兴趣的话可以去了解一下良序集上的超限归纳法。

坦白讲，数学在我们生活中真正用的比较多的还是很少。

我们在初中学的函数，高中学的微积分，如果在毕业之后专业用得到的地方，可能还是少数的人。

所谓高中我们学的数学的归纳法。

相比较而言，还是有一定的用途。

但是如果对于一些专业的数学科学家而言，那就简直是皮毛了。