关于哈密顿－雅可比理论介绍

[拼音]：hamidun-Yakebi lilun

[外文]：Hamilton-Jacobi theory

具特定形式的一阶常微分方程组（运动方程组）与一个相应的偏微分方程的关系的理论。它来源于分析力学，对经典力学、理论物理、微分方程、微分几何都有重要的意义。

变分学与哈密顿方程

n自由度力学系(q1，q2，…，qn)的拉格朗日函数l(q，妜)＝T-U，其中T、U分别是力学系的动能和势能。哈密顿最小作用原理指出，力学系的运动q=γ(t)使作用

L(у)＝

达到驻定值。由变分学知道，使L(у)达到驻定值的q=у(t)是欧拉－拉格朗日方程

(1)

的解。这是n个二阶常微分方程，称为拉格朗日方程组。

经典力学研究力学系有两种途径。一是由 (1)研究(q，妜)随t的变化。{q}构成力学系的构形空间M，它是一个微分流形，妜是M的切向量。这种途径称为拉格朗日力学，可以说是力学的切丛表述。

另一途径是引入广义动量p=(p1，p2，…，pn)，，同时通过勒让德变换引入哈密顿函数而得到(q，p)所满足的哈密顿方程组（或称典则方程组，见哈密顿系统）

， (2)

这个途径称为哈密顿力学。由于p是M的余切向量，哈密顿力学可以说是力学的余切丛表述。

在哈密顿力学中最小作用原理也有相应的表述形式，也可讨论拉格朗日函数与哈密顿函数显含时间 t的情况。

研究哈密顿力学的数学理论框架，也称为哈密顿形式化。它对许多数学分支以及力学、理论物理都有重大的意义。

典则变换

典则方程组(2)有许多重要的性质。例如，在运动轨道p=p(t)，q=q(t)上h(p，q)守恒，

由于h=T+l，上式实即沿运动轨道机械能守恒。又如，任一力学量F(p，q)在运动轨道上恒适合方程

，

{h，F}是经典力学中的泊松括号（见一阶偏微分方程）。

为了讨论典则方程组，最有效的方法是作一个变换

φ:(p，q)(P，Q)=(P(p，q)，Q(p，q)) (3)

使(2)化简，但由于典则方程组有如上的重要特性，所以仍希望保持其形状。这种变换称为典则变换。典则变换有一些等价的定义。例如，它可定义为保持泊松括号不变的变换。然而，因为有

，

故由(3)式所表示的P、Q也适合

，。

利用(3)中的φ 的雅可比矩阵φ1，上述可以表示为

，

若矩阵A（或线性变换A）适合A_1JA＝J，则称 A为辛矩阵（或辛变换），所以典则变换的雅可比矩阵都是辛矩阵。其逆亦然。所以典则变换也可定义为雅可比矩阵为辛矩阵的变换(3)。

典则变换的重要例子如下：设函数S(q，P)适合。令，则

是局部的典则变换。又如，考虑典则方程组的初值问题：

，

，，

它的解当｜t｜充分小时为微分同胚。{gt}称为哈密顿相流：(P，Q)=gt(p，q)。对于每个固定的t，gt都是典则变换。

典则变换的重要性可从下例看出：著名的开普勒问题是讨论质量为m 的质点在势能为U（r）=-k／r的有心力场中的运动。采用极坐标（r，θ）则拉格朗日函数是，作勒让德变换，其哈密顿函数是，由于h中不显含θ，故有而有pθ＝常数。这就是角动量守恒。再联系到能量守恒，就可容易地解决这个问题。

由直角坐标变为极坐标所起的关键作用在于使H 中不显含θ，从而得到一个守恒律。如果作一典则变换（上述坐标变换也可扩充为典则变换）使某些坐标qi不出现在h中，那么也可以得到相应的守恒律pi=常数。这种qi称为循环坐标。守恒律就是典则方程组的初积分。利用它可以降低方程组的阶。这是求解典则方程组最常用的方法。

生成函数、哈密顿－雅可比方程

作典则变换φ:(p，q)(P，Q)最重要的方法是利用生成函数:在一定条件下存在函数S(p，Q)使得，于是

，。

这是一个典则变换，S称为其生成函数。

一般地，S 可以显含时间t。可以证明S 适合偏微分方程

。 (4)

(4)称为哈密顿－雅可比方程，简称H－J方程。

典则方程组(2)是(4)的特征方程组。由一阶偏微分方程理论知，可以通过求解(2)而得出H-J方程的解。但是还有与此对偶的一方面:即通过求解H-J方程得到S，而S是(2)之解作为典则变换的生成函数。从而可解出典则方程组(2)，其法如下：

作H-J方程的完全积分（见一阶偏微分方程）

，

令（新的参数），，由它们解出q=q(t，α，b)，p=p(t，α，b)即得(2)的一族含2n个参数(α，b)的解。

以上指出的典则方程组与 H-J方程的关系之两个对偶的方面，有深刻的物理意义。人们很早就发现光的传播，服从一个与最小作用原理很相似的变分原理──费马原理，因而也可以作出典则方程组和 H-J方程的类似物。力学中的运动轨道相应于光学中的光线，光线是几何光学的基本概念。而生成函数S 所成的一族曲面S=常数，则相应于波前面，它是物理光学的基本概念。上述的二者的对偶关系正是反映了几何光学与物理光学的联系。力学与光学之间的这种类比，是量子力学的基础之一。