关于解析函数边值问题介绍

[拼音]：jiexi hanshu bianzhi wenti

[外文]：boundary value problem of analytic function

寻求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支。下面是两个最典型的例子。

黎曼边值问题

设l为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域，要求一分区全纯函数(即在上述每一个连通区域内全纯）φ(z)使

， (1)

式中G(t)，g(t)都是已知函数，而φ +(t)和φ -(t)分别表示当z从l的正侧（即沿l正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于l上一点时φ(z)的极限值亦即边值。此外还应补充要求φ(z)在无穷远处至多有一极点。如果l中含有开口弧段，则也应说明要求φ(z)在l的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G(t)，g(t)满足一定的条件时，这一问题已完全解决。

希尔伯特边值问题

设G为一区域，l为其边界，取其正向使G在其左侧，要求在G内的一全纯函数φ(z)，使

(2)

式中α(t)，b(t)，с(t)都是l上已给的实函数。特别，当α(t)=1，b(t)=0时，则此希尔伯特边值问题就是解析函数的狄利克雷问题。当α(t)，b(t)，с(t)满足一定的条件时，上述边值问题已有较完整的讨论，但对G为多连通区域的情况还不能说已完全彻底解决。

有人把黎曼边值问题称作希尔伯特边值问题，而把希尔伯特边值问题称作黎曼－希尔伯特边值问题。这两个问题是有密切联系的，求解它们的主要工具都是柯西型积分。

进一步推广是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ +(α(t))，φ -(α(t))，其中α(t)为l映于自身的一个同胚映射，保向或逆向，称为l的位移。这样，相应的问题就称为带共轭的或带位移的边值问题，当然也有既带共轭又带位移的边值问题。

如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N维分区全纯向量，而把G(t)，α(t)，b(t)看作N×N矩阵，g(t)，с(t)也看作N维向量，则就构成了分区全纯向量的边值问题。这类问题虽也有许多工作，但与N=1的情况相比较，还远远没有达到完善的地步。

由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。

解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在d性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。