几何分布公式?

问题一：什么是几何分布 几何分布的公式 就一句话,一个是有放回抽取（二项分布）,另一个是无放回抽取（超几何分布）具一个例子,20个小球里面有5个黑的,15个白的从中抽取3次,有X个黑球如果每次抽出都放回去,第二次再抽,就每次抽到黑球概率都是1/4,这一次与其他次都互相独立,这明显是独立重复试验,对应的概率模型是二项分布如果每次抽取不放回去,就是拿3个,那么这3个里面出现的黑球X就是超几何分布特征还是非常明显的比如还是上面那个例子,我取6次,如果不放回,里面也最多有5个黑球；但是有放回抽取,可以6次都抽到黑球它们之间还有联系,就是总体个数比起抽取次数来说非常大的时候,就相互很接近了比如1000个球,里面200黑800白,抽取3次如果每次放回去抽黑球的概率每次都是1/5,不放回去第一次抽到的概率是1/5,第二次如果第一次抽到白的就是200/999还是约等于1/5,第一次抽到黑的则是199/999约等于1/5,第三次抽取同理,每次概率约等于1/5,就可以近似按照二项分布的独立重复试验来计算

问题二：几何分布的期望与方差公式怎么推导 Dξ=∑(ξ－Eξ)^2Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2ξEξ)Pξ

=∑(ξ^2Pξ＋Eξ^2Pξ－2PξξEξ)

=∑ξ^2Pξ＋Eξ^2∑Pξ－2Eξ∑Pξξ

因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξPξ

所以Dξ=∑ξ^2Pξ－Eξ^2

而∑ξ^2Pξ，表示E(ξ^2)

所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

下面计算几何分布的学期望，

Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p

Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p ①

当然

(1-p)Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^ξp

(1-p)Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ②

①－②得

pEξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)p

所以

Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)

=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)

=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p

=1/p

若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，

其中E(ξ^2)的计算过程如下：

E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2(1-p)^(ξ-1)p －∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ①

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^ξp

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(ξ-2)(1-p)^(ξ-1)p ②

由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ③

③－②得

pE(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2(ξ-1)(1-p)^(ξ-1) ④

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋2∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(1-p)^ξ

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋2∑{ξ=3，∞}(ξ-2)(1-p)^(ξ-1) ⑤

由④得

E(ξ^2)=1/p＋2(1-p)＋2∑{ξ=3，∞}(ξ-1)(1-p)^(ξ-1) ⑥

⑥－⑤得

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1)

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2lim{x→∞}(1-p)^2[1-(1-p)^x]/p

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2(1-p)^2/p

E(ξ^2)=1/p＋2(1-p)/p＋2(1-p)^2/p/p

=1/p＋2(1-p)/p/p

=(2-p)/p>>

问题三：什么是几何分布 几何分布的公式 就一句话,一个是有放回抽取（二项分布）,另一个是无放回抽取（超几何分布）具一个例子,20个小球里面有5个黑的,15个白的从中抽取3次,有X个黑球如果每次抽出都放回去,第二次再抽,就每次抽到黑球概率都是1/4,这一次与其他次都互相独立,这明显是独立重复试验,对应的概率模型是二项分布如果每次抽取不放回去,就是拿3个,那么这3个里面出现的黑球X就是超几何分布特征还是非常明显的比如还是上面那个例子,我取6次,如果不放回,里面也最多有5个黑球；但是有放回抽取,可以6次都抽到黑球它们之间还有联系,就是总体个数比起抽取次数来说非常大的时候,就相互很接近了比如1000个球,里面200黑800白,抽取3次如果每次放回去抽黑球的概率每次都是1/5,不放回去第一次抽到的概率是1/5,第二次如果第一次抽到白的就是200/999还是约等于1/5,第一次抽到黑的则是199/999约等于1/5,第三次抽取同理,每次概率约等于1/5,就可以近似按照二项分布的独立重复试验来计算

问题四：几何分布的期望与方差公式怎么推导 Dξ=∑(ξ－Eξ)^2Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2ξEξ)Pξ

=∑(ξ^2Pξ＋Eξ^2Pξ－2PξξEξ)

=∑ξ^2Pξ＋Eξ^2∑Pξ－2Eξ∑Pξξ

因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξPξ

所以Dξ=∑ξ^2Pξ－Eξ^2

而∑ξ^2Pξ，表示E(ξ^2)

所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

下面计算几何分布的学期望，

Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p

Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p ①

当然

(1-p)Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^ξp

(1-p)Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ②

①－②得

pEξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)p

所以

Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)

=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)

=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p

=1/p

若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，

其中E(ξ^2)的计算过程如下：

E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2(1-p)^(ξ-1)p －∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ①

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^ξp

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(ξ-2)(1-p)^(ξ-1)p ②

由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ③

③－②得

pE(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2(ξ-1)(1-p)^(ξ-1) ④

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋2∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(1-p)^ξ

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋2∑{ξ=3，∞}(ξ-2)(1-p)^(ξ-1) ⑤

由④得

E(ξ^2)=1/p＋2(1-p)＋2∑{ξ=3，∞}(ξ-1)(1-p)^(ξ-1) ⑥

⑥－⑤得

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1)

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2lim{x→∞}(1-p)^2[1-(1-p)^x]/p

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2(1-p)^2/p

E(ξ^2)=1/p＋2(1-p)/p＋2(1-p)^2/p/p

=1/p＋2(1-p)/p/p

=(2-p)/p>>

0-1分布：分布律：P(X=x)=x, x∈[0,1]概率密度函数：f(x)=1, x∈[0,1]二项分布：分布律：P(X=x)=C(n,x)p^x(1-p)^(n-x), x=0,1,2,,n概率密度函数：f(x)=C(n,x)p^x(1-p)^(n-x), x=0,1,2,,n泊松分布：分布律：P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!, x=0,1,2,概率密度函数：f(x)=e^(-λ)λ^x/x!, x=0,1,2,几何分布：分布律：P(X=x)=(1-p)^(x-1)p, x=1,2,3,概率密度函数：f(x)=(1-p)^(x-1)p, x=1,2,3,均匀分布：分布律：P(X=x)=(b-a)/(b-a), x∈[a,b]概率密度函数：f(x)=1/(b-a), x∈[a,b]指数分布：分布律：P(X=x)=λe^(-λx), x≥0概率密度函数：f(x)=λe^(-λx), x≥0标准正态分布：分布律：P(X=x)=1/√(2π)e^(-x^2/2), x∈(-∞,+∞)概率密度函数：f(x)=1/√(2π)e^(-x^2/2), x∈(-∞,+∞)

随机变量

随机变量定义：

样本空间为Ω，随机变量X表示样本空间Ω中的一个样本点（样本空间和随机变量的关系类似于实数轴上的x轴和自变量x的区别）。如随机抛掷一枚骰子，X就是表示骰子的点数。

分布函数

分布函数定义：

F(X)=P(X<=x)

离散型随机变量的分布函数：

连续性随机变量的分布函数：

分布函数的性质：

1非降性

F(x)是一个非递减函数

2归一性

在x趋向于+∞时，F(x)趋向于1

3右连续性

因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。

数学期望

在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

离散型随机变量的期望：

连续型随机变量的期望：

性质：

1E©=C

2E(CX)=CE(X)

3E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4当X和Y相互独立时，E(XY)=E(x)E(y)

方差

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

D(x)=E ( ( X-E( X ) )2)

离散型变量的方差：

随机型变量的方差：

展开上式可得：

性质L:

D©=0

D(CX)=C2D(X)

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E( (X-E(X))(Y-E(Y)) )

若X,Y相互独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)

离散型随机变量三大常见分布：

1两点分布（伯努利分布）

定义：

一个非常简单只有两个可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复。记为X~（0,1）

分布律：

X 0 1

P (1-p) p

性质：

期望E(X)=p

方差D(X)=p(1-p)

2二项分布

定义：

在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。

可以简单理解为多次抛硬币事件的概率分布。

记做X~b（n，p）

分布律：

X 0 1 。。。 k

P C0p0(1-p)(n) C1p1(1-p)(n-1) 。。。 Ckpk(1-p)(n-k)

性质：

期望E(X)=np

方差D(X)=np(1-p)

就是在两点分布的基础上乘以一个n

泊松分布：

定义：

二项分布的近似解，当n非常大，p非常小，计算十分复杂时，可以用泊松公式求近似解。（n＞200，p＜005） 记做X~P（λ）

概率函数：

λ表示数学期望，即np

k表示事件发生的次数

性质：

期望E(X)=λ=np

方差D(X)=λ

均匀分布

定义：

均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为X~U（a，b）。

概率密度函数：

a表示区间上界，b表示区间下界

性质：

期望E(X)=(a+b)/2

方差D(X)=(b-a)2/12

指数分布：

定义：

指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。记做X~ E（λ）

概率密度函数：

λ表示期望的倒数

性质

期望E(X)=1/λ

方差D(X)=1/λ2

正态分布（高斯分布）

定义：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为X~N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

概率密度函数：

标准化：

将Y化为x的形式，转换为标准正态分布，方便查表计算。也可以用来算μ和σ。

F((96-05)/σ)=005，查表的到（96-05）/σ=2，可以求得σ。

性质

期望E(X)=μ

方差D(X)=σ2

到这里概率论的基础就完结了，开始上数理统计部分了。概率论对深度学习帮助挺大的，主要是帮助理解概念，方便搭建更优化的神经网络。

定义，如果随机变量的分布函数,存在非负函数，使对于任意实数有

则称 为「连续型随机变量」 ，其中函数称为的「概率密度函数」，简称「概率密度」

概率密度具有以下性质：

对于任意实数 ，

 若在处连续，则有

连续型随机变量，任取一个指定实数的概率为，即

证明如下：

❝

根据分布函数定义，有  ,我们知道   表示  在处理左极限，即  ,    由于 在定义域内连续，所以有   

❞

相关推论：

这里虽然  , 但随机变量是可以取到 点的， 也就是说 对于事件，如果其发生的概率, 不一定是 不可能事件， 但是如果已经知道 是不可能事件，则必有

连续型随机变量，计算区间概率时，区间端点可有可无，即  

由第二条可知，我们假设 , 会发现虽然， 但是却不能取到 点，所以得出结论：对于事件，如果其发生的概率，则不一定是必然事件，但是如果已经知道 是必然事件，则必有

f(x)=Ke^-kx,x>=0;此处对f（x）在负无穷到X这个区间做不定积分即可“（负无穷，x）”求出分布函数为

F（x）=1-e^-kx,x>=0;

当x

1几何分布适用条件：

1）进行一系列相互独立的试验。

2）每一次试验都既有成功的可能，也有失败的可能，且单次试验的成功概率相同。

3）为了取得第一次成功需要进行的试验次数。

满足以上3个条件，即为几何分布。

2几何分布概率公式：

其中p为成功概率，q=1-p为失败概率。公式表达的意思是：为了在第r次试验时取得成功，首先要失败r-1次。

3几何分布适用于不等式：

P(X>r）指的是为了取得第一次成功需要试验r次以上的概率。即前r次试验必须以失败告终。

P(X<=r）指的是为了取得一次成功而需要试验r次或r次的以下概率。

如果一个变量X的概率符合几何分布，且单次试验的成功概率为p，则可以写作：

4几何分布的期望：

5几何分布的方差：

6举例：

一位滑雪者不出意外顺利滑至坡底的概率是04,算出以下概率

1）第一次滑雪失败，第二次成功的概率

P(X=2)=pq=04(1-04)=024

2）第4次或不足4次就滑雪成功的概率

P(X<=4)=1-q的4次方=1-06的4次方=08704

3）需要滑雪4次以上才能成功的概率

P(X>4)=q的4次方=06的4次方=01296

4）期望获得成功而需要滑行的次数

E(X)=1/p=1/04=25

5）试滑次数的方差

Var(X)=q/p的平方=06/（0404）=375

1二项分布适用条件：

1）进行一系列独立试验。

2）每一次试验都存在成功和失败的可能，且每次成功的概率相同。

3）试验次数有限。

2二项分布概率公式：

其中：组合公式

3二项分布可以写成：

其中p是每一次试验成功的概率，n为试验次数。

4二项分布的期望：

5二项分布的方差：

6二项分布与几何分布的区别：

两者的差别在于实际上要求的结果。如果试验次数固定，求成功一定次数的概率，则使用二项分布；如果你想要知道在取得第一次成功之前需要试验多少次，则需要使用几何分布。

7举例：

某游戏中共有5个问题，每一题有4个选项，每题答对的概率是025。

1）答对2题的概率是多少

P(X=2)=5!/(3!2!)(025025)(075075075)=0264

2）答对3题的概率是多少

P(X=3)=5!/(2!3!)(025025025)(075075)=00879

3）答对2题或3题的概率

P(X=2或X=3)=P(X=2)+P(X=3)=0264+00879=03519

4）一题也答不对的概率是多少

P(X=0)=075075075075075=0237

5）期望和方差是多少

E(X)=np=5025=125

Var(X)=npq=5025075=09375

1泊松分布适用条件：

1）单独事件在给定区间内随机、独立的发生，给定区间可以是时间也可以是空间。

2）已知该区间内的事件平均发生次数，且为有限数值。该事件平均发生次数通常用 表示。

2泊松分布可以写成：

X表示给定区间内的事件发生次数，如果X符合泊松分布，且每个给定区间内平均发生 次，可写成：

4泊松分布的期望：

5泊松分布的方差：

6泊松分布与其他概率分布的区别：

泊松分布不需要做一系列试验，但它描述了事件在特定区间内的发生次数。

7泊松分布代替二项分布：

当n很大（>50），p很小（<01)，这时可以使用泊松分布代替二项分布，因为大的阶乘不方便计算，而泊松分布与二项分布近似相等。其中 =np。