高一数学三角函数基本公式

　公式一：

　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　sin（2kπ+α）= sinα

　cos（2kπ+α）= cosα

　tan（2kπ+α）= tanα

　cot（2kπ+α）= cotα

　公式二：

　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　sin（π+α）= —sinα

　cos（π+α）= —cosα

　tan（π+α）= tanα

　cot（π+α）= cotα

　公式三：

　任意角α与 —α的三角函数值之间的关系：

　sin（—α）= —sinα

　cos（—α）= cosα

　tan（—α）= —tanα

　cot（—α）= —cotα

　公式四：

　利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：

　sin（π—α）= sinα

　cos（π—α）= —cosα

　tan（π—α）= —tanα

　cot（π—α）= —cotα

　公式五：

　利用公式—和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系：

　sin（2π—α）= —sinα

　cos（2π—α）= cosα

　tan（2π—α）= —tanα

　cot（2π—α）= —cotα

　公式六：

　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　sin（π/2+α）= cosα

　cos（π/2+α）= —sinα

　tan（π/2+α）= —cotα

　cot（π/2+α）= —tanα

　sin（π/2—α）= cosα

　cos（π/2—α）= sinα

　tan（π/2—α）= cotα

　cot（π/2—α）= tanα

　sin（3π/2+α）= —cosα

　cos（3π/2+α）= sinα

　tan（3π/2+α）= —cotα

　cot（3π/2+α）= —tanα

　sin（3π/2—α）= —cosα

　cos（3π/2—α）= —sinα

　tan（3π/2—α）= cotα

　cot（3π/2—α）= tanα

　（以上k∈Z）

　拓展高一数学三角函数的解题思路

　第一：三角函数的重要性，即使你高一勉强过了，我希望你能在暑假好好学习三角函数知识。

　第二：任意角三角函数。同角三角函数公式，切化弦公式以后一会常用到，恒等式公式整合了正余弦之间的关系。诱导公式就是一个BUG不用管它，能记住多少算多少，通用口诀：奇变偶不变符号看象限，奇偶的辨别是PI/2的整数倍的奇偶决定。

　第三：三角函数的图像和性质。首先要明白三角函数线的知识，虽然考试不会涉及不过对于理解三角函数的图像的绘制提供了直观的理解。三角函数的草图一律用五点作图法。三角函数的性质包括最值性、单调性、奇偶性、周期性、对称性。三角函数的这五个性质必须好好把握。

　第四：正弦函数。这里主要是从基本初等三角函数变换成初等三角函数。Asin（wt+y）+c。关于各个数值的含义你以后会在高中物理中的交流电理论或是简谐振动理论里学习。其中的初相位和圆频率之间的先后变换所产生的'关系必须弄清楚，这里经常会弄错还希望你能注意。

　第五：余弦函数。和正弦函数一样，不过还有涉及到余弦的便会涉及到向量的数量积。其实在物理学的功的定义中便接触了。

　第六：正切函数。注意它的间断点和周期与正余弦函数的差别。最重要的还是切化弦吧，还有就是直线斜率和正切的关系。

　第七：余切，正割，余割，反三角函数，球面三角函数你接触一下吧。虽然高中基本不用对于你的学习还是有好处的。

　第八：三角恒等变换。这里是三角函数的难点和重点。八个C级要求这里占了两个。再加上数量积一个，C级要求的三角函数就占了3个。主要思路：变角变名变次数。主要公式：两角和与差公式，二倍角公式及其推论（降幂扩角，升幂缩角），辅助角公式。

　第九：两角和与差公式。这个公式如果你不会用，那请好好学。总共六个公式。记住之间正负号和函数的位置。很好记忆的。

　第十：二倍角公式。二倍角公式三个。余弦公式中比较复杂，以及由它推导出来的降幂公式升幂公式也是变换的重点。

　第十一：辅助角公式。这个其实是两角和函数的逆运算。它的出现频率却不低于二倍角函数，故特引起重视。

　第十二：其他变换公式。万能代换就是一个bug，由半角公式推导而来。积化和差和差化积高中应用不多，大学就很重要了，最基本的极限理论就得用到它。三角公式繁多还有其他不列举。

　第十二：解三角形。两个公式。正弦定理，余弦定理。优美公式勾股定理不要遗忘哦。计算三角形的面积的方法应该要掌握至少七种吧。

　第十二：三角函数的导数。记住三个公式就可以了。

　第十三：三角函数的应用。物理问题一般使用正余弦函数居多。实际问题或者是几何问题一般是正切函数居多。

　高一数学三角函数求导公式整理

　(sinx)' = cosx

　(cosx)' = - sinx

　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

　(secx)'=tanx·secx

　(cscx)'=-cotx·cscx

　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

　(arctanx)'=1/(1+x^2)

　(arccotx)'=-1/(1+x^2)

　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　④(sinhx)'=coshx

　(coshx)'=sinhx

　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

　(sechx)'=-tanhx·sechx

　(cschx)'=-cothx·cschx

　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)

　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)

　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2lr

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

降幂公式

（sin^2）x=1-cos2x/2

（cos^2）x=i=cos2x/2

万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

奇变偶不变，符号看象限。

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα •cotα＝1

sinα •cscα＝1

cosα •secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα•tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]•cos[(α－β)/2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]•sin[(α－β)/2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]•cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]•sin[(α－β)/2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα •cosβ＝05[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosα •sinβ＝05[sin(α＋β)－sin(α－β)]

cosα •cosβ＝05[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

sinα •sinβ＝－05[cos(α＋β)－cos(α－β)]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

所以,sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

所以我们就得到,cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)

0度

sina=0,cosa=1,tana=0

30度

sina=1/2,cosa=√3/2,tana=√3/3

45度

sina=√2/2,cosa=√2/2,tana=1

60度

sina=√3/2,cosa=1/2,tana=√3

90度

sina=1,cosa=0,tana不存在

120度

sina=√3/2,cosa=-1/2,tana=-√3

150度

sina=1/2,cosa=-√3/2,tana=-√3/3

180度

sina=0,cosa=-1,tana=0

270度

sina=-1,cosa=0,tana不存在

360度

sina=0,cosa=1,tana=0

等比数列公式

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）

　　若通项公式变形为an=a1/qq^n(n∈N),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qq^x上的一群孤立的点。

　　（2) 任意两项am，an的关系为an=am•q^(n-m)

　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　（4）等比中项：aq•ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

　　记πn=a1•a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

　　性质：

　　①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am•an=ap•aq；

　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列

　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”

　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-anq)/(1-q)（q≠1） Sn=na1 （q=1）

　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零

　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　等比数列在生活中也是常常运用的。

　　如：银行有一种支付利息的方式---复利。

　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

　　再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金(1+利率)^存期

等差数列公式

　　等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d

　　或an=am+(n-m)d

　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=(a1+an)n/2

　　若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq

　　若m+n=2p则：am+an=2ap

　　以上n均为正整数

　　文字翻译

　　第n项的值=首项+（项数-1）公差

　　前n项的和=（首项+末项）项数/2

　　公差=后项-前项

对称数列公式

　　对称数列的通项公式：

　　对称数列总的项数个数：用字母s表示

　　对称数列中项：用字母C表示

　　等差对称数列公差：用字母d表示

　　等比对称数列公比：用字母q表示

　　设，k=(s+1)/2

一般数列的通项求法

　　一般有：

　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）

　　累和法（an-an-1= an-1 - an-2= a2-a1=将以上各项相加可得an）。

　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。

　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。

　　特别的：

　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n

　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn

　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列

　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）

特殊数列的通项的写法

　　1,2,3,4,5,6,7,8 ---------an=n

　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8-------an=1/n

　　2，4，6，8，10，12，14-------an=2n

　　1,3,5,7,9,11,13,15-------an=2n-1

　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1--------an=(-1)^n

　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1--------an=(-1)^(n+1)

　　1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1------an=[(-1)^(n+1)+1]/2

　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

　　9,99,999,9999,99999, ------an=（10^n)-1

　　1,11,111,1111,11111--------an=[（10^n)-1]/9

　　1，4，9，16，25，36，49，------an=n^2

　　1,2,4,8,16,32--------an=2^(n-1)

数列前N项和公式的求法

　　(一)1等差数列:

　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数

　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数

　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2

　　2等差数列前n项和:

　　设等差数列的前n项和为Sn

　　即 Sn=a1+a2++an;

　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2

　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n

　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法

　　(二)1等比数列:

　　通项公式 an=a1q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项

　　an=a1q^(n-1),am=a1q^(m-1)

　　则an/am=q^(n-m)

　　(1)an=amq^(n-m)

　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)

　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq

　　2等比数列前n项和

　　设 a1,a2,a3an构成等比数列

　　前n项和Sn=a1+a2+a3an

　　Sn=a1+a1q+a1q^2+a1q^(n-2)+a1q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q);

　　注: q不等于1;

　　Sn=na1 注:q=1

　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系：

tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式：

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

一、定义与定义式：

　自变量x和因变量y有如下关系：

　y=kx+b

　则此时称y是x的一次函数。

　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　即：y=kx（k为常数，k≠0）

　二、一次函数的性质：

　1y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

　2当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　三、一次函数的图像及性质：

　1．作法与图形：通过如下3个步骤

　（1）列表；

　（2）描点；

　（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

　3．k，b与函数图像所在象限：

　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　当b＞0时，直线必通过一、二象限；

　当b=0时，直线通过原点

　当b＜0时，直线必通过三、四象限。

　特别地，当b=o时，直线通过原点o（0，0）表示的是正比例函数的图像。

　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限

　四、确定一次函数的表达式：

　已知点a（x1，y1）；b（x2，y2），请确定过点a、b的一次函数的表达式。

　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

　（2）因为在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　（4）最后得到一次函数的表达式。

　五、一次函数在生活中的应用：

　1当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　2当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。

　六、常用公式：（不全，希望有人补充）

　1求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）

　2求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

　3求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

　4求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2lr

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

降幂公式

（sin^2）x=1-cos2x/2

（cos^2）x=i=cos2x/2

万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

奇变偶不变，符号看象限。

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα •cotα＝1

sinα •cscα＝1

cosα •secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα•tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2

cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]•cos[(α－β)/2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]•sin[(α－β)/2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]•cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]•sin[(α－β)/2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα •cosβ＝05[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosα •sinβ＝05[sin(α＋β)－sin(α－β)]

cosα •cosβ＝05[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

sinα •sinβ＝－05[cos(α＋β)－cos(α－β)]

事先说明： ！！！~得采纳我的哦~！！！ 要全部？

Ⅰ指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，

同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)

（8） 显然指数函数无界。

（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

底数的平移：

对于任何一个有意义的指数函数：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

底数与指数函数图像：

（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）

幂的大小比较：

比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。哪么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1

〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由

⑴y=4^x

因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；

⑵y=(1/4)^x

因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数

Ⅱ (见:函数图形曲线)

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 coversθ =1-sinθ

正弦（sin）:角α的对边比上斜边

余弦（cos）:角α的邻边比上斜边

正切（tan）:角α的对边比上邻边

余切（cot）:角α的邻边比上对边

正割（sec）:角α的斜边比上邻边

余割（csc）:角α的斜边比上对边

·平方关系：

sin²α＋cos²α＝1

1＋tan²α＝sec²α

1＋cot²α＝csc²α

·积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

·倒数关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))，其中

sint=B/√(A²+B²)

cost=A/√(A²+B²)

tant=B/A

Asinα-Bcosα=√(A²+B²)cos(α-t)，tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)

·三倍角公式：

sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan³α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos²α

1-cos2α=2sin²α

1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]²

Ⅲ对数函数

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

对数函数的公理化定义

真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，

底数则要大于0且不为1

对数函数的底数为什么要大于0且不为1

在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）

对数函数的一般形式为 y=log(a)x，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2） 对数函数的值域为全部实数集合。

（3） 函数图像总是通过（1，0）点。

（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。

（5） 显然对数函数无界。

对数函数的常用简略表达方式：

（1）log(a)(b)=log(a)(b)

（2）lg(b)=log(10)(b)

（3）ln(b)=log(e)(b)

对数函数的运算性质：

如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）

（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）

对数与指数之间的关系

当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N

log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）

换底公式 （很重要）

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga

ln 自然对数 以e为底

lg 常用对数 以10为底

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要大于0且不为1

对数的运算性质：

当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）

对数与指数之间的关系

当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N (对数恒等式）

对数函数的常用简略表达方式：

（1）log(a)(b)=log(a)(b)

（2）常用对数:lg(b)=log(10)(b)

（3）自然对数:ln(b)=log(e)(b)

e=2718281828 通常情况下只取e=271828 对数函数的定义

对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

[编辑本段]性质

定义域：（0，+∞）值域：实数集R

定点：函数图像恒过定点（1，0）。

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；

0<a<1时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。

奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。

周期性：不是周期函数

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正

底真异对数负

累！ 采纳我呀 不好意思 不会搞