【大学概率统计】指数分布和卡方分布如何转换

不是的，只是根据各自定义，“X服从参数为1/2的指数分布，则X服从参数为2的卡方分布”是特殊的不是对n普遍适用的。

只是把1/2和2分别代进两个式子里面，正好结果是一样的而已。

指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。

指数函数的一个重要特征是无记忆性。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

指数分布

指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。

每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ E（λ）。

指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。

混沌理论在地球科学领域大有作为一方面是因为混沌理论本身的普适性以及其在研究方法上的客观性和科学性，另一方面是地球科学中的大多数研究内容正是适合于应用混沌理论进行研究的对象混沌理论必将深刻地影响地球科学的发展，而地球科学中若干重大问题的突破也必将充实和完善混沌理论

地质学中许多专题与混沌有关，如构造变动、岩浆运移、地磁反向、岩石矿化、浊流沉积等其中前寒武复杂变质构造的研究与混沌关系密切每次叠加的构造活动相当于动力学的迭代、映射过程、群的作用过程四川彭县的等斜褶曲、大金川的紧密褶曲、马角坎的尖棱褶曲等与混沌动力学中的拉伸、折叠作用极为相似，构造地质学可以从混沌研究中得到启示板块运动的地幔热对流假说可以结合计算机数值计算进行深入研究GA格兰兹麦耶（GAGlatzmier）等人已就地幔对流的一个球面碰撞模型做了数值计算研究，结论是：下托的原板在地幔对流中起重要作用，对流的混沌演化可能影响板块的时空行为，进而影响大陆的聚散方式另外，古地磁反向年表的混沌研究有重要意义布拉德（ECBullard）和奇林诺斯（DRJChillingnorth）等人给出了类似洛伦兹方程的地磁反向模型，能够解释一些现象，不过还显得粗糙

1冰川进退问题

冰川系统是一个混沌系统在某一相对稳定的状态下，由于某种原因的扰动，使大陆冰盖分布的温度稍微下降一点，冰川因此向低纬方向推进了一点因为扩大后冰盖反射掉更多的阳光，温度势必进一步下降，冰盖也因此得以再度向前扩展如此反复进行下去，温度不断下降，冰川的扩张得以持续，一直到新的冰融线暂时地稳定于某个平衡部位为止在这一过程中，形态的运转只有第一步是由外界的扰动引起的，以后则只需上一步的结果即可构成下一步过程的原因，形态的演化得以继续可见这一过程内蕴的非线性反馈机制对系统演化的进程起着明显的控制作用另一方面，这一过程产生的暂时平衡是不稳定的，只要冰融线附近有一个与前述类似的增温，冰盖就将沿着与上述过程相反的方向退缩回去，直到又一个新的冰融线产生并暂时地稳定时为止如果异地发生的增温与降温交替或同时作用，则受其激发的冰川将在一个大致的空域内作往复式波动但无论其进退，我们都能看到在环境的激励变化与系统的行为响应之间量级上显然不成比例，环境扰动一旦启动了系统的运转机制，系统本身所具有的非线性反馈特征即成为此后维系其过程的内在的动力学原因总之，只要温度发生很小的变化，就会引发或终止一个冰川期，这就是系统对初始条件的敏感依赖性其次，冰川一旦被启动（前进或后退），其内部蕴涵的非线性反馈机制成为维系过程长期进行的内在动力学原因因此，利用混沌理论研究冰川演化问题以至气候变迁，有可能对其发生，演化的规律作出更切合实际的解释

我们可以用逻辑斯蒂（Logistic）映射（详细情况可见63与64）描述以上过程，即

分形混沌与矿产预测

其中xn+1为某时刻的冰川面积，xn为前一时刻冰川面积，μ为结冰率（结冰率=结冰速率/融化速率），它是影响方程性态的惟一参数

方程（621）表明某一时刻的冰川面积只与结冰率及前一时刻的冰川面积相关，而且由于限制因子1-xn的存在，冰川的增长不可能是无限的另一方面，由之表征的冰川演化行为却远非方程的表面形式那样简单数值模拟表明，当0＜μ≤4时，方程（621）所显示的动力学性质是多变而微妙的，其解可以分别是稳定解（不动点）、周期解和混沌解三种情况

（1）当0＜μ＜1时，即融化速率大于结冰速率，则无论是何种地质环境或气候环境，冰川的面积将逐渐退缩并趋向于零

（2）当μ=1时，冰川的演化趋势依然是趋近零而非一般想象的那样保持稳定，即xn+1→0这一结论是耐人寻味的，它表明在结冰与融化这一对矛盾处于相持状态时，系统的平衡是不稳定的这是因为限制因子1-xn的作用所至，它导致冰川在该条件下仍持后退的趋势

（3）当1＜μ≤3时，式（621）有一个稳定的不动点1-1/μ，因此冰川的总体趋势是趋向于一个有限的覆盖面积

（4）当3＜μ≤4时，不动点1-1/μ变得不稳定，而衍生出两种新的演化趋势其一是在μ略大于3时，式（621）取周期解；而随着μ进一步增大（如）时，开始出现倍周期分岔，即混沌的趋势

综上可知：当融化速率大于结冰速率时，冰川的演化呈持续退缩的趋势；而两者相等或后者大于前者时，冰川的演化视μ的取值不同相应不同，即，后退、有限扩展、周期性进退振荡和“无规律”的进退变化等究其原因，在于系统内蕴的非线性制约了其演化的性质和行为

2地磁极的倒转

在地球发展历史中，地磁极曾发生了数次随机倒转，即磁北极变成磁南极，磁南极变成磁北极，或反过来，其间的时间间隔不尽相同混沌运动的自逆转特性可以很好地模拟地球磁场的随机倒转应用混沌理论解决地磁极随机倒转是一条非常有希望的途径例如力武常次发电机模型产生了随机极性倒转的结果，它与地磁极倒转之间具有明显的相似之处因为地球的磁场成因于导电的外地核，外核的作用像一个发动机一样液态外核由铁组成，在地核条件下它是良好电导体在地核中的电流生成了地磁场在地核中的浮力，产生于温度或物质构成的差异，驱动了流体的流动流动中的电导体在磁场中又感应出电场这是一种自激式电动机

3矿床分布

矿床在地壳中的分布具有一定规律性在时间上，矿床不是均匀地分布于各个地质时代，而是在某个时代相对集中，这就是成矿期问题；在空间上，矿床也不是均匀地分布于各个（类）地质体中，而是集中在某个（类）地质体中，这就是成矿区问题为什么矿床的时空分布会出现这种特征其中是否存在内在本质的规律cantor集合可以给予我们有意义的启示

地壳中元素和矿化分布的不均匀是一个普遍规律在全球范围内，矿床往往集中分布在几个成矿带中，在成矿带内，矿床又集中在若干个成矿省；一个成矿省内矿床通常只集中在几个矿化密集区内；在一个密集区内的矿床，特别是一些大型、超大型矿床主要集中在一二个矿田内；在一个矿田内，尽管可以有许多矿床和矿点产出，但往往是一二个矿床占据矿田矿石储量绝大部分；甚至一个矿床中，70%～90%以上的矿石储量往往被一、二个主矿体所占有例如，统计资料表明（北京矿产地质研究所，1987），世界金属矿产总储量的46%集中在仅占矿产地总数025%的大型、超大型矿床中，32%的储量蕴藏于占矿产地总数125%的中型矿床中，而不具有经济价值的矿点则占矿产地总数8575%在中国华南已知的1200余个钨矿床和矿点中，超大型矿床占08%，但却占了总储量的62%，而达到矿床和矿点总数935%的小型矿床和矿点的储量仅为总储量的6%又如中国的一些萤石矿床，尽管在一个矿床中可以有若干条矿脉，总储量达数万吨以上，但其中90%以上的储量却常常集中在一条矿脉中由此从超大型矿床到小型矿床，再到矿点、矿化，它们在空间分布上具有分形丛集性

如果把某一地区（或全球范围）分成许多大小相等的单元，可发现有些单元有矿床，在有矿单元之间存在若干无矿单元之后再把有矿单元分成更小的单元（大于单个矿床的线性尺度），又发现有矿聚群和无矿的单元在任何一个矿床聚群中，无论单元的尺度多么小，只要大于单个矿床的尺度，其中总存在若干无矿的单元由此，可以把矿化的分布看成是随cantor（康托）集合在空间上的分布

4成矿作用

成矿作用是介质中分散的成矿物质在地质作用下迁移聚集而形成矿床的过程在这个过程中，成矿系统由无序状态逐步向有序状态演化，并与外界环境不断地进行物质和能量的交换这类系统非常类似于生态系统因此，利用逻辑斯蒂（Logistic）差分方程来分析成矿系统的动力学行为，进而判断成矿的潜能，探讨混沌与成矿作用的关系，是目前值得注意的一个研究方向

於崇文等（1998，1999）将复杂性科学和矿床地质学相结合提出了一种新的金属成矿理论—“金属成矿动力学系统的复杂性与自组织临界性”，并应用这一理论研究扬子古陆周缘四大成矿区带矿床成因与成矿规律，发现“大型矿床的成矿区带在混沌边缘”在概述“金属成矿动力学系统的复杂性与自组织临界性”的理论纲要与混沌和混沌边缘基本概念的基础上，提出了地质-成矿系统在混沌边缘的四条判定准则：① 自组织临界性的标志-广义地质学（地质学、地球物理学、地球化学）场（温度、流速、压力等）的场量之时-空幂律分布及其基本属性：A长程时-空关联与连通性及其时-空分形结构；B崩塌动力学；C“元胞自动机”的动力学机制；D自组织临界性的涌现于“混沌边缘”，并具有最大的复杂性、演化性和创新性；② 岩浆和热液“孤子”、“孤波”与“相干结构”以及其他弱混沌“拟序结构”；③ 超临界地质流体参与地质-成矿作用

於崇文院士进一步提出金属成矿动力学系统的复杂性与自组织临界性的三大基础理论：① 地质-成矿过程的非线性动力学-应用非线性动力学理论研究矿床和矿集区形成的动力学机制；②“地质-成矿作用与时-空结构”耦合系统的复杂性-应用时-空分形、时空混沌和弱混沌拟序结构理论研究成矿系统的空间展布和时间演化规律；③ 地质-成矿系统自组织临界性的（混沌边缘）的涌现机制-应用“瞬态混沌”理论研究混沌边缘，用混沌边缘的判定准则研究了矿床和矿集区的时-空定位於崇文院士应用上述三大基础理论，将扬子古陆周缘四大成矿区带矿床地质实际与混沌边缘的判定准则相结合对“大型矿床的成矿区带在混沌边缘”这一重大地质命题进行了论证，研究了大型矿床与成矿区带形成的动力学机制

5地幔对流

普遍认为热对流是地幔中热传导的基本方式由铀等放射性同位素的蜕变而在地幔中产生热在地球的冷却过程中热被耗散掉板块构造中的表面板块是地幔对流细胞的热边界层而板块是由在大洋中脊处上升的地幔流动造成的板块具有重力不稳定性，并在大洋的海沟（俯冲带）处下沉由于地幔的体积占地球总体积的85%以上，可以说地球宏观物理性质主要是由地幔性质所决定的而地球最基本的物理特征之一是在瞬时力作用下是刚体，这与地幔大部分是固态的情况相吻合，而在长久的持续作用下则是可塑体，这表明由于热激活蠕变，使固态地幔的性质就像是流体一样这是因为处于高温高压的地幔，其性质与常温常压下的固态是有很大差别的其中最关键的物理参数是其粘滞系数，它是温度和压力的指数函数，而且密度也会随着压力（深度）增大而显著增加若以地质学的时间概念，以百万年为尺度来看地幔在长久力的持续作用下会发生蠕变，具有流体的某些特征就不足为奇了在这种情况下，应变和应力的关系几乎可以肯定是非线性的，这些非线性项有可能造成混沌运动

6水系的演化过程

地表水系不仅是一种普遍发育的地质体，也是一种重要而活跃的地质营力这一双重特性使其演化过程中的非线性反馈作用更为突出考察水系发育过程可以发现：任一条初始平直的水系都必然会向曲流转化，而这一过程的启动可以有多种原因且可能是完全随机的假设一条平直河道的某处因岩块堵塞，主流线因而向一侧河岸迁移，则该岸因侵蚀加强而后退，主流线因此进一步朝该岸迁移，河岸也进一步后退，于是原本平直的河道逐渐变为弯曲河道由此还将引起一系列连锁反应：在惯性离心力作用下，弯道水流涌向下游对岸，使之剥蚀后退形成新的弯道与凹岸，此处水流再次重复同样的运动，原本平直的河道演变为多重S形可见，一旦某个确定性因素（如因地球自转产生的科里奥利力）或随机因素（如滑坡）启动了上述进程，水系内蕴的非线性机制及其自身的水动力将使这一过程得以持续下去，直至河流达到其理想侵蚀面为止此后某个因素导致河流发生截弯取直作用，使之向平直河道的演化趋势回复如此更迭下去，河道的演化即必然不断地在平直—弯曲的更替和转化中进行

另一方面，水系因前述的双重特性而使其对于地壳运动的变化具有比多数地质体更为迅捷的响应和更加详细的记录，同时其自身的响应变异在相当范围和相当程度上又足以导致地质环境平衡态的破坏，使其对某些区域性地质灾害的发生不啻于一种驱动力和加速即在有水系参与的生态环境中，因地壳应力的改变等引起的微小涨落可通过水系响应而被放大，从而加剧了环境失衡和某些灾害发生的可能

7旱涝更迭

对中国灾情进行研究的结果表明：任一地区的旱涝每隔一定年限均有旱涝更迭现象，这可用混沌理论来解释在降雨与蒸发相对平衡的年份，若此时有一点扰动，例如意外的一场寒冷带来的一场大雨或农民大面积浇地带来的空气湿度过大，则会使得该地区气温相对于其他地区较低，湿度更大当有热流或冷气流路经此地时，易于冷热相遇，形成雨下雨之后使该地区气温更低，湿度更大，易于形成更大降雨多次迭代的结果形成洪灾，有时这种情况持续多年，直到在某一大面积之内达到新的平衡为止旱灾的出现也是如此

8地震

一些学者通过对关联维的研究，得到海城、唐山和龙陵大震前地震活动有一个低维混沌过程同时得到辉长岩AE活动在失稳破裂前，其频数分布也是混沌的这表明两种系统具有惊人的相似性

简单的d簧滑块模型可以描述断层性态滑块受到约束，只能在一个平面上运动由于摩擦作用的存在，当拉力没有达到某一个临界值之前，滑块原地不动，被粘住在表面上，而d簧的拉力一直在增加当d簧的拉力增加到等于最大的摩擦阻力时，滑动才发生这就是粘滑现象而存贮在d簧中的d性应变释放，相应于地震的d性回跳现象

滑块模型可被用来模拟前震、余震、前震滑动、余震滑动和地震现象的统计特征Nussbaum和Ruina（1987）用了双滑块模型，研究结果表明，当具有空间对称性时，滑块的动力学性态是周期的Huang和Turcotte（1990）研究了具有空间对称性的同样的滑块模型，结果发现经典的混沌现象特征Carlson和Langer（1989）使用了多滑块模型，也得到了混沌性态d簧滑块模型是一种地层活动特征的简单模拟可是，低维模拟系统的混沌行为常常表明自然系统也会具有这种混沌性态因此，可以有理由断言断层之间的相互作用，导致了分形的频度——震级统计关系，也是一种确定性混沌地震的预报不可能在确定性意义下进行，只有用地震发生的概率方法才行

对于非负随机变量u,其分布函数F( t) 和余分布函数Fc ( t) 分别为F( t) = P{u<=t} 和Fc ( t) = 1 - F( t) 当Fc ( t) 满足

lim

t →∞ [ Fc ( t + s) / Fc ( t) ] = 1 , s >=0

时，定义F( t) 为重尾分布

Pareto 分布是一种常用的重尾分布, 其分布函数表示式为

F( t) = 1 - (β/ t) ^α <这里α为（β/ t）的指数,编辑困难> , α,β>=0

其中α(0 <α< 2) 为形状参数,决定分布函数拖尾的严重程度; β为位置参数

重尾分布意味着可以更大的概率获得很大的值 因此与弱随机性相反，重尾分布一般表示病态 增加的各种结果被确定为具有重尾分布，包括收入分布、财务报告、保险支出、网页的参考链接等 重尾分布的一个特殊的子集是幂律，其意味着概率密度函数是一个幂 一个技术难题是，不是所有的矩存在于这些分布，这一般意味着它们使用分位数和其它顺序统计学 这也就是说，中心极限定理不再成立 但是对于诸如均值，即稳定分布的线性组合，我们获得一个新的标准极限分布

设X是一个随机变量，F(X)=P[X<x]为它的分布函数，如果当 x->inf时1-- F(X) ~ 1/(x^a) (a>0) 称X的分布为重尾分布，又称幂律分布。

一般来说，服从重尾分布的随机变量X具有较大甚至是无穷大的方差，而且当a<=1时，X的均值也是无穷的。随机变量X会以不可忽略的概率取到非常大的数值，即：大量的小抽样取值和少量的大抽样取值并存。

大数据处理关键技术一般包括：大数据采集、大数据预处理、大数据存储及管理、大数据分析及挖掘、大数据展现和应用（大数据检索、大数据可视化、大数据应用、大数据安全等）。

如何从大数据中采集出有用的信息已经是大数据发展的关键因素之一。

想要培养数据分析的能力，可以从两部分来着手：一是数据分析方法论的建立，二是数据分析从入门到精通的知识学习。

理论：是进行分析的基础

1）基础的数据分析知识，至少知道如何做趋势分析、比较分析和细分，不然拿到一份数据就无从下手；

2）基础的统计学知识，至少基础的统计量要认识，知道这些统计量的定义和适用条件，统计学方法可以让分析过程更加严谨，结论更有说服力；

3）对数据的兴趣，以及其它的知识多多益善，让分析过程有趣起来。

实践：可以说90%的分析能力都是靠实践培养的

1）明确分析的目的。如果分析前没有明确分析的最终目标，很容易被数据绕进去，最终自己都不知道自己得出的结论到底是用来干嘛的；

2）多结合业务去看数据。数据从业务运营中来，分析当然要回归到业务中去，多熟悉了解业务可以使数据看起来更加透彻；

3）了解数据的定义和获取。最好从数据最初是怎么获取的开始了解，当然指标的统计逻辑和规则是必须熟记于心的，不然很容易就被数据给坑了；

4）最后就是不断地看数据、分析数据，这是个必经的过程，往往一个工作经验丰富的非数据分析的运营人员要比刚进来不久的数据分析师对数据的了解要深入得多，就是这个原因。

也可以采用第三方的大数据服务平台，观向数据是一款整体的数据采集、分析、可视化系统，可以帮助企业品牌发展提供科学化决策。

          经常听得到“二八法则”这个词语，但是却找不到这个词的由来， 那么，二八法则是什么意思呢？二八原则其实就是幂律分布，与之相对的是正态分布。幂律分布背后都有相似的机制起作用，在社会领域马太效应是一个常用的比喻。复利也是幂函数关系，这点你的感觉是对的，但单纯讲复利还不能解释分布。

        世界上除了“二八法则”还有很多其他的法则，  与二八法则类似，有神秘的犹太人法则“78：22”，甚至被称为“宇宙法则”，以及中国人的法则“79：21”等。二八法则是20:80的简称。初次听到“80:20法则”的人一定会感到十分困惑。因为这一法则表明的是虽然相互关联，却是不同领域的数字比例关系，一般来说，80：20法则有以下三个涵义：1）好事物的80％只被20％的人所拥有2）20％以内事物不发生变化3）超过20％将发生变化。

           二八法则 也有极其重要的意义。俗话说得好“有舍才有得”你要想获得一些东西，你必须学会舍弃另一些东西。有舍才有得。有得必有失。二八法虽然被称为不平衡法则。但事实上，二八法则，是平衡法则。任何一个系统在趋向平衡态时就会自动趋于二八法则。二八法则也是一个守恒法则。

         综合以上回答，“二八法则是如此普遍的现象”。