设函数f(x)具有连续的导数，且f(0)=0,试求lim(t趋向于0)1πt^4∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv,求高手指点

x^2+y^2+z^2<t^2表示一个球

则∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv=∫《ρ从0积分到t》4πρ²·f(ρ)dρ =4π ∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ

则lim(t趋向于0)1/πt^4∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv

=lim(t趋向于0) [1/πt^4]·[4π ∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ]

=lim(t趋向于0) [ 4∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ] /t^4

=lim(t趋向于0) [ 4t²·f(t)] /(4t^3) 洛比达法则

=lim(t趋向于0) f(t) /t

=lim(t趋向于0) [f(t)-f(0)] /(t-0)

=f'(0) 导数的定义

这就是最后的结果了。因为题中只说到f(x)具有连续的导数。

解：分析：从结果看，f'(ξ)=2/(2ξ+1) - 1/√(1+ξ2) 显然：[ln(2ξ+1)]' =2/(2ξ+1) 而ln(2ξ+1)形式和0≤f(x)≤ln(2x+1)/[x+√(1+x2)]中的相近，再进一步： ln[x+√(1+x2)]的导数为：1/√√(1+x2)，至此，可以利用构造法！令：F(x)=f(x)-ln(2x+1)/[x+√(1+x2)] 显然，F(x)在[0,+∞)可微，再令：t∈(0,+∞)，则： F(x)在F(x)在(0,t)可微，即可导，在[0,t]连续因此，根据拉格朗日中值定理，ξ∈(0,t)(0,+∞)，则： [F(t)-F(0)]/t = F'(ξ) F(0)=f(0)-ln1=f(0) 又∵0≤f(x)≤ln(2x+1)/[x+√(1+x2)] 则：0≤f(0)≤ln1=0 即：f(0)=0 ∴F(0)=0 F(t)=f(t)-ln(2t+1)/[t+√(1+t2)] 根据：0≤f(x)≤ln(2x+1)/[x+√(1+x2)]可得： 0≤f(t)-ln(2t+1)/[t+√(1+t2)]≤ln(2t+1)/[t+√(1+t2)] - ln(2t+1)/[t+√(1+t2)]=0 即： F(t)=f(t)-ln(2t+1)/[t+√(1+t2)]=0 而： F'(ξ) = {f(ξ)-ln(2ξ+1)/[ξ+√(1+ξ2)]}' 因此： (0-0)/t ={f(ξ)-ln(2ξ+1)/[ξ+√(1+ξ2)]}' ∴ f'(ξ) = 2/(2ξ+1) - 1/√(1+ξ2) 证毕！

直接用高级筛选功能：

选中A中数据,“数据-筛选-高级筛选”

将筛选结果复制到其他区域，（这个区域就选D表的第一各）

勾上“选择不重复记录”，这样A就ok了。

同样对B,C高级筛选，对应复制到D的后面。

这样出来的会有ABC中重复的，所以再对D做一次高级筛选就OK了

希望对你有帮助！

思路：将 f^2(x)-4|f(x)|+k 化简为两个相对熟知的函数 t=|x|-3  和 t^2-4|t|+k ，然后讨论 方程t^2-4|t|+k=0 的根的情况。

f^2(x)-4|f(x)|+k=0 最多有8个不同根， f(x)=|x|-3 当f(x)在值域中取值时有可能存在1个或2个根，仅当f(x)>-3时，x对应2个值。

由此得出，t=|x|-3 要使t取一个值时有2个x与之对应，必须有t>-3，而且t不同时必有2个不同的x与之对应

于是问题转化为讨论 方程t^2-4|t|+k=0 有4个不同的根的情况

解题：

设函数t=f(x)=|x|-3

所以 t>-3 时必有 2个x与t值相对应，并且t值不同，x对应的值也一定不同

t^2-4|t|+k 的函数图像，由图所示，2个开口向上的抛物线，以y轴对称，类似一个W型的曲线，定义域为 t>-3的一段。

要使其取4个不同的值，也就是与x轴有4个交点，

需要（1）对称轴x=2时的最小值小于0 （2）当t=-3时，函数值大于0即可

列出不等式

（1）22-42+k<0

（2）(-3)-4(-3)>0

综合（1）（2）得出 

3<k<4

很明显这个函数可以化成(x-2)^

2,而且给的区间长度是一,那么讨论区间就行了,分为三种情况第一种全部在y=2左边(Y=2取得函数的最小值)然后就是区间最右边的点的函数值是最小值,第二种包含y=2,最小值就是零,第三种y=2右边,区间最左边的数的函数值为最小值,得到一个分段函数就是结果

f(x)=(x-1)^2 -4,对称轴为x＝1,

x∈[t,t+2],故最值与定义域与x＝1的位置有关！

(1)t≥1，图像位于对称右半侧

最大值就是f(t+2)＝(t+1)^2-4

最小值＝f(t)＝t^2-2t-3

(2)对称轴位于定义域内，即t∈(-1,1),t<1<(t+2)

此时，最小值为f(1)＝-3

当t>0时，最大值为f(t+2)＝(t+1)^2-4

当t<0时，最大值为f(t)＝t^2-2t-3

(3)t≤-1,即t+2≤1,图像位于对称轴左侧

此时最小值是f(t+2)＝(t+1)^2-4

最大值是f(t)＝t^2-2t-3

函数的象是指函数对应的值域，也就是函数的所有可能取值。

对于函数$f(t) = 1 - 2e^{-\frac{1}{T}t}$，我们需要求出它的值域。

首先，函数$f(t)$中指数部分的取值范围是$[-\frac{1}{T}\cdot \infty, -\frac{1}{T} \cdot 0] = [0, +\infty)$，因为指数是一个非负数，所以函数的值域是$(1-2, 1-2e^0] = (-1, -1+2e^0]$。

因此，函数$f(t)$的象是$(-1, -1+2e^0]$。