如何证明矩阵谱半径不是矩阵范数

证明：
记λ为矩阵A的模最大特征值（谱半径），x为其对应的右特征向量，那么：
x'A'
×
Ax
=
|λ|²
×
x'x
=>
|λ|
=
||Ax||₂/
||x||₂<=
||A||₂即矩阵的模最大特征值（谱半径）小于等于矩阵的2范数，再由矩阵范数的等价性命题知，矩阵谱半径不是矩阵范数，证毕！

如何求矩阵的一范数 一范数和二范数有啥区别？
1-范数：是指向量（矩阵）里面非零元素的个数。类似于求棋盘上两个点间的沿方格边缘的距离。

||x||1 = sum（abs(xi)）；

2-范数（或Euclid范数）：是指空间上两个向量矩阵的直线耿离。类似于求棋盘上两点见的直线距离 （无需只沿方格边缘）。

||x||2 = sqrt(sum(xi^2))；
∞－范数(或最大值范数)：顾名思义，求出向量矩阵中其中模最大的向量。

||x||∞ = max(abs(xi))；

PS由于不能敲公式，所以就以伪代码的形式表明三种范数的算法，另外加以文字说明，希望楼主满意。相互学习，共同进步~
请问各位达人，矩阵2范数怎么求啊？它的公式是什么咧？
矩阵A的2范数就是搐A乘以A的转置矩阵特征根 最大值的开根号

如A={ 1 -2

-3 4 }

那么A的2范数就是（15+221^1/2)^1/2 了
求教矩阵向量的列向量的范数用那个函数
函数norm格式n=norm(X)%X为向量，求欧几里德范数，即。n=norm(X,inf)%求-范数，即。n=norm(X,1)%求1-范数，即。n=norm(X,-inf)%求向量X的元素的绝对值的最小值，即。n=norm(X,p)%求p-范数，即，所以norm(X,2)=norm(X)。命令矩阵的范数函数norm格式n=norm(A)%A为矩阵，求欧几里德范数，等于A的最大奇异值。n=norm(A,1)%求A的列范数，等于A的列向量的1-范数的最大值。n=norm(A,2)%求A的欧几里德范数，和norm(A)相同。n=norm(A,inf)%求行范数，等于A的行向量的1-范数的最大值即：max(sum(abs(A')))。n=norm(A,'fro')%求矩阵A的Frobenius范数，矩阵元p阶范数估计需要自己编程求，计算公式如下举个例子吧a=magic(3)sum(sum(abs(a)^4))^(1/4)a=816357492ans=197411希望能帮上
什么是矩阵的范数
在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法

。在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，

函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何

，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。

函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，

映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。

由于映射的对象可以是任何事物

，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的座标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。

从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射梗可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，

矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。

范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知：

由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵A把向量x映射成向量Ax

，取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量Ax范数最大值作为矩阵A的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量Ax范数最大时的向量x方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解SVD

，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1

。此外，不同的矩阵范数是等价的。

范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。
范数的矩阵范数
一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。诱导的范数把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数║A║ = max{║Ax║：║x║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠0} ，它自动满足对向量范数的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，并且可以由此证明：║AB║ ≤ ║A║║B║。注：⒈上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的（有限开覆盖定理），从而上面的连续函数可以取到最值。⒉显然，单位矩阵的算子范数为1。常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| } （列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）（其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|++|an1|，其余类似）；2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = (max{ λi(AHA) }) 1/2 （谱范数，即A^HA特征值λi中最大者λ1的平方根，其中AH为A的转置共轭矩阵）；∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|，∑|a2j|,，∑|amj| } （行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值）（其中∑|a1j| 为第一行元素绝对值的和，其余类似）；其它的p-范数则没有很简单的表达式。对于p-范数而言，可以证明║A║p=║AH║q，其中p和q是共轭指标。简单的情形可以直接验证：║A║1=║AH║∞，║A║2=║AH║2，一般情形则需要利用║A║p=max{yHAx：║x║p=║y║q=1}。非诱导范数有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数）：║A║F= （∑∑ aij2）1/2 (A全部元素平方和的平方根）。容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导（||E11+E22||F=2>1）。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义║x║=║X║，其中X=[x,x，…，x]是由x作为列的矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论：║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F ≤ ║A║2 ║B║F矩阵谱半径定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2，…，n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ（A）。注意要将谱半径与谱范数（2-范数）区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即AHA最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论：定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ（A）≤║A║。因为任一特征对λ，x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║
矩阵计算范数
根据矩阵F（简称）范数的定义：

以及矩阵的迹与F范数的关系（方框中的内容）：

得到

（因为都是实矩阵、实向量，所以共轭转置就等同于转置了）

因此只要证明：

在这里依然没有看到可以简化的迹象，所以就不打算写成迹的形式来证明了。下面直接利用F范数的定义来证明。

设E的第i行、第j列元素为Eij，s的第i个元素为si，数值(s^T)s=C，那么

并且有

因此只要证明

从而只要证明

即要证明

即要证明

即证

即证

即证

即证

即证

即证

即证

实际上，根据前面的规定，有

因此上式成立，待证命题也就成立。

注意过程中括号的添加以及求和指标的变化‍

这个作用是在计算数学里有重要作用。
谱半径即最大的特征值。
所以当我们需要限定特征值的大小时就要用到它了！
比如说在pde数值解这门课中，我们判断方程解的稳定性时，需要让特征值小于1
所以特征值小于1就是必要条件，即风诺依曼条件。不知道你有没有上过这门课
还有在线性方程组的数值解中需要矩阵迭代，也要用谱半径来判断收敛性。

证明：
记λ为矩阵A的模最大特征值（谱半径），x为其对应的右特征向量，那么：
x'A' × Ax = |λ|² × x'x => |λ| = ||Ax||₂/ ||x||₂<= ||A||₂即矩阵的模最大特征值（谱半径）小于等于矩阵的2范数，再由矩阵范数的等价性命题知，矩阵谱半径不是矩阵范数，证毕！

矩阵每一行之和和每一列之和都是同一个值（设为a），且每个元素都是正数，那么谱半径是a吗？
答：是的。
证明：
（1）先用谱半径的估计公式:谱半径p小于等于行模和的最大值。
此处行模和都是a，于是p<=a
（2）由于矩阵每一行之和为a，所以有
A[1 1 1]^T=[a a a]^T=a[1 1 1]^T
（上标T表示转置）
这个式子表示a是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量是[1 1 1]^T
综上，矩阵的谱半径小于等于a，又直接找到一个特征值就是a。所以矩阵的谱半径为a

A对称，存在正交阵Q，使得Q^TAQ=D是对角阵，不妨设D的第一个对角元是模最大的特征值。对任意的单位向量x，存在单位向量y，使得x=Qy，于是||Ax||^2=||QDQ^Tx||^2=||QDy||^2=||Dy||^2=d1^2y1^2+d2^2y2^2++dn^2y^n<=d1^2(y1^2++yn^2)=d1^2，因此||Ax||<=|d1|。同时，存在单位向量x，使得Ax=d1x，因此||Ax||=|d1|，于是由定义||A||=max(||x||=1)||Ax||=|d1|=A的谱半径。

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