关于矩阵可相似对角化条件的判定的疑问

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

1n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵

2如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数
现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的

在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即Aa=λa

假设一种特殊的情形,A有n个不同的特征值λi,即Aai=λiai令矩阵P=[a1 a2 an]

这样以来AP=A[a1 a2 an]=[Aa1 Aa2 Aan]=[λ1a1 λ2a2 λnan]=PB,其中B是对角阵

B＝

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 0 λn

由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么P是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是A＝PBP-1 ,这也就是A相似与对角阵B定义了
在这个过程中,A要能对角化有两点很重要：

P是怎么构成的P由n个线性无关的向量组成,并且向量来自A的特征向量空间

P要满足可逆什么情况下P可逆

矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下P可逆

如果A由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成P；

但是如果A有某个λ是个重根呢比如λ＝3,是个3重根我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么A就不能对角化了,这是因为能让A对角化的P矩阵不存在

扩展资料：

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵  ，如果对于  ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵  使  的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵  对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。

无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

主条目：特征值，特征向量

n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足  的标量以及非零向量  。其中v为特征向量，  为特征值。

A的所有特征值的全体，叫做A的谱 ，记为  。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性

旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。

旋转矩阵是世界上著名的专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。

首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。

参考资料：

百度百科-矩阵 百度百科-对角化

矩阵的基本运算公式大全如下：

1行矩阵、列矩阵:mxn阶矩阵中，m=1，称为行矩阵，也称为n维行向量;n=1，称为列矩阵，也称为m维列向量。

2零矩阵:所有元素都为0的mxn阶矩阵

3n阶方阵:mxn阶矩阵A中，m=n;n阶方阵A，可定义行列式记为A;n阶方阵存在主对角线及主对角线元素。

4单位矩阵:主对角线上的元素都为1，其余元素均为0的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为E。

5对角形矩阵:非主对角线上的`元素全为0的n阶方阵称为对角形矩阵。

6数量矩阵:n阶对角形矩阵主对角线上元素相等时，称为数量矩阵。

7上(下) 三角形矩阵:n阶方阵中，主对角线下方元素全为零，称为上三角矩阵;主对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵。

8同型矩阵:A=aij(mxn),B=bij(sxt),m=s、n=t，A与B为同型矩阵，若对应元素相等，则A与B相等。

9逆矩阵:设A是n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵，A称为可逆矩阵或非奇异矩阵。(可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵为同阶方阵;A与B地位是等同的，所以B也是可逆矩阵，并且A是B的逆矩阵。)记为A-1,AA-1=A-1A=E

10伴随矩阵:设矩阵A，Aii为行列式|Al中元素aij的代数余子式，称A为矩阵A的伴随矩阵。

AA=AA=|AE

//分析：魔方阵有如下规律：
// 1：自然数1总是在方阵第一行当中一列上。
// 2：后续的自然数在当前数的右上方，
// 1）如果是在第一行则行数变为第n行列数加1 ；
// 2）如果是在最后一列，行数减1，列数为第1行。
// 3）如果后续的数所处位置已有数，则行数加1,列数不变。
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巧填奇数阶幻方（魔方阵）[转]2007-01-03 17:57 一、什么叫幻方？
（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。这样的方阵图叫做幻方。
幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。
二、奇数阶幻方的填法。
奇数阶幻方中最简便的一种就是三阶幻方，又称“九宫图”。
平常我们遇到这类题都是用分析、分组、尝试的方法推出，这种方法较麻烦，如果是五阶幻方、七阶幻方就更困难了。
有一种方法不仅能很快地填出三阶幻方，还能很快地填出五阶幻方、七阶幻方、九阶幻方……那就是“口诀法”
口 诀
“1”坐边中间，斜着把数填；
出边填对面，遇数往下旋；
出角仅一次，转回下格间。
注意：
（1）这里的“1”，是指要填的这一列数中的第一个数。
（2）“1”坐边中间，指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里。
（3）从1到2时，必须先向边外斜（比如：第一个数填在上边的正中间，填第二个数时，要向左上方或右上方斜），填后面的数时也要按照同样的方向斜。
/
#include<iostream>
using namespace std;
void main()
{
int a[32][32],i,j,k,p,n;
p=1;
while(p==1)
{
cout<<"Enter n(n=1~25):";
cin>>n;
if((n!=0)&&(n<=25)&&(n%2!=0))
p=0;
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0;
j=n/2+1;
a[1][j]=1;
for(k=2;k<=nn;k++)
{
i=i-1;
j=j+1;
if((i<1)&&(j>n))
{
i=i+2;
j=j-1;
}
else
{
if(i<1)
i=n;
if(j>n)
j=1;
}
if(a[i][j]==0)
a[i][j]=k;
else
{
i=i+2;
j=j-1;
a[i][j]=k;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}

}

一个矩阵能对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
所以你题目中的2阶矩阵若能对角化就要存在2个线性无关的特征向量。
现在矩阵M的两个特征值相等，全为3
设矩阵M的特征值为λ，存在非零向量x，使得Mx=λx,即(M-λE)x=0
即齐次线性方程组(M-λE)x=0的非零解即为矩阵M的对应于特征值λ的特征向量
现在矩阵M要有两个线性无关的特征向量，就说明齐次线性方程组(M-λE)x=0要有两个线性无关的解，即其基础解系中要有两个解向量
∴系数矩阵的秩R(M-λE)=0
但题中R(M-3E)=1，∴齐次线性方程组(M-λE)x=0至多只有一个线性无关的解
∴矩阵M无法对角化。
若矩阵A能解出n个线性无关的特征向量，就把这些特征向量排列为一个矩阵P，通过相似变换即可将A对角化，其对角阵的对角线上每个元素都是矩阵A的特征值，且位置与矩阵P中各特征向量的位置相对应。

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