求极坐标面积

将极坐标转换成直角坐标后就很容易知道这是两条怎样的曲线转换公式是: r=√(x²+y²), cosθ =x/√(x²+y²),

sinθ=y/√(x²+y²) 第一条曲线转化为: √(x²+y²)=ax/√(x²+y²), x²+y²=ax

x²-ax+y²=0, (x-a/2)²-(a/2)²+y²=0 (x-a/2)²+y²=(a/2)²

此曲线是一个圆心在(a/2,0),半径为a/2的圆 第二条曲线转化为:

√(x²+y²)=ax/√(x²+y²)+ay/√(x²+y²), x²+y²=ax+ay

(x-a/2)²-(a/2)²+(y-a/2)²-(a/2)²=0

(x-a/2)²+(y-a/2)²=2(a/2)²=(a/√2)²

此曲线是一个圆心在(a/2,a/2),半径为a/√2的圆

这两条曲线所围图形公共部分是由第一个圆的上半圆和第二个圆下面一扇形区(正好为第二个圆面积的1/4)的弧面组成

第一个圆的上半圆的面积是:π(a/2)²=πa²/4

第二个圆下面一扇形区(正好为其圆的1/4)的弧面的面积是:(1/4)π(a² /2)-a² /4=πa² /8-a² /4

此公共部分的总面积为:

π(a/2)² + πa² /8 - a² /4=(3π/8-1/4)a²

(x-a)²+y²=a²x²+y²=2ax

定积分应用面积根据极坐标系下r>=0解出θ范围即为积分区间，然后代入极坐标面积微元公式进行定积分即可。

面积为πa^2。

求解如下：

因为ρ=2acosθ，所以cosθ=ρ/2a>=0

所以θ的取值范围是（-π/2,π/2)

则围成的面积为：

S=∫1/2ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ

因为积分范围是（-π/2,π/2），所以有：

S=a^2+1/2a^2sin2θ

=a^2[(0+π/2)-(0-π/2)]

=πa^2

所以曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积为πa^2。

扩展资料：

坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

比如，极坐标中的（3, 60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（−3, 240°）和(3, 60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° − 180° = 60°）。

参考资料来源：百度百科-极坐标方程