说明怎样求出二元函数的一阶偏导数

y^2的偏导数=2yy’去掉积分项看，而且在求偏导的时候，只认为你求的那个是变量，其他都认为是常数。
（x^2+ax+b)^2对a求偏导的结果=2(x^2+ax+b)(x) 后边括号里的x就是 （x^2+ax+b）对a求偏导求出来的，要认为除了a以外全部都是定值，现在变量只有a。
后边同理可得

多元复合函数高阶偏导求法如下：

一、多元复合函数偏导数

上面公式可以简单记为“连线相乘，分线相加”；也可以借助微分形式不变性，即函数有几个中间变量，则偏导有几部分组成（不排除个别部分为零）

二、多元复合函数二阶偏导数

对于复合函数二阶偏导数，关键需要理解函数对中间变量的偏导数依然为多元复合函数，其关系与原来因变量与自变量关系完全一致，即：

先画出关系图：

解决多元复合抽象函数高阶偏导问题关键理清因变量与自变量关系，在解题过程中最后画出关系图，这样可以避免多写或漏写。

：

偏导数的几何意义：

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

手写公式是隐函数求导得出的。本题是显函数。
要用手写公式，应这样写：
令 F = x^2+y^2+z^2-u, 则 Fu = -1，
Fx = 2x+2z∂z/∂x = 2x+4xzsiny = 2x+4x^3(siny)^2,
Fy = 2y+2z∂z/∂y = 2x+2zx^2cosy = 2x+x^4sin2y,
∂u/∂x = -Fx/Fu = 2x+4x^3(siny)^2,
∂u/∂y = -Fy/Fu = 2x+4x^3(siny)^2

先求出
∂f/∂x=
∂f/∂y=
∂²f/∂x∂y=
∂²f/∂y∂x=
∂²f/∂x²=
∂²f/∂y²=
代入（x0,y0)的值就可以了。

计算过程如下：

z=x^2sin2y

az/ax=2xsin2y

az/ay=2x^2cos2y

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

扩展资料：

如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

二阶偏导数求法介绍：

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作f'x(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样把x固定在x0，让y
有增量△y，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作
f'y(x0,y0)。

公式介绍：

1、∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

2、∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

3、∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

4、∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

扩展资料

二阶偏导数性质介绍

一、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

二、设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么：

1、若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2、若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

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