二次插值

已知（xi，yi），i＝0，1，2是三个互异点，二次插值就是求过这三个已知点的抛物线方程，即构造一个二次代数多项式L2（x）：

地球物理数据处理基础

使其满足：

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显然，满足条件（6－10）的插值多项式函数（6－9）可由下面的方程组确定：

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此方程中a0，a1，a2为未知数，写成矩阵形式为

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于是，只要从式（6－12）中求解出a0，a1，a2，则插值多项式L2（x）便唯一确定。

但是，通过解方程组的办法来求取插值多项式通常是比较麻烦的，尤其是当插值节点增多时，计算量大。因此，我们有必要寻找构造插值函数的其他途径，下面我们介绍构造二次插值函数的Lagrange差值法。

根据插值问题的唯一性，参照线性插值函数形式，令

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li（x）（i＝0，1，2）应该具有相似的形式，由于插值函数L2（x）是二次多项式，那么li（x）（i＝0，1，2）也应该是二次多项式形式。不妨令

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由插值条件式（6－10）得

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于是得到二次插值函数：

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其中，li（x）（i＝0，1，2）表示如下：

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li（x）称为二次插值的基函数或形函数。li（x）满足

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同样，对于n＋1个已知观测点，我们仍可以先将观测区间［x0，xn］划分为n/2（n为偶数）段，在相邻的三个观测点构成的子区间［xi－1，xi＋1］（i＝1，3，…，n－1）进行分段二次插值。

不难得到插值函数

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其中：

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因此，对于区间［xi－1，xi＋1］内的任意点x，只要求出相应的lj（x），即可根据式（6－18）计算出x处的近似值。

楼主的程序基本没错，就是在t = t .* (xx - x(1,i))./(x(1,j) - x(1,i))这一行里xx前面多了个（

以下程序正确：（要是只做2次插值的话令n=3就行了）

function yy = Nlagrange(x,y,xx)

yy = 0

j = 1

n = 3

while j <= n

t = 1

for i = 1:n

if i ~= j

t = t .* (xx - x(1,i))./(x(1,j) - x(1,i))

end

end

yy = yy + t .* y(1,j)

j = j + 1

end

end

另外输入的变量y多个逗号就不吐槽了，但采用大括号很令人费解，一般向量都是用中括号的。

像这样在Command Window输入：

x = [4 9 16]

y = [2 3 4]

xx = 7

yy = Nlagrange(x,y,xx)

结果：

yy =

2.6286

我的程序是牛顿插值和拉格朗日插值合起来，你自己看下，用的是C++

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <stdlib.h>

using namespace std

#define N 100

void lagrange()

{

int n,k,m,q=1

float x[N],y[N],xx,yyy1,yyy2,yy1,yy2,yy3

cout<<"请输入X的个数："

cin>>n

for(k=0k<=n-1k++)

{

cout<<"请输入X"<<k<<"的值："

cin>>x[k]

cout<<"请输入Y"<<k<<"的值："

cin>>y[k]

}

system("cls")

cout<<"则Xi与Yi表格如下："<<endl

cout<<"Xi"<<" "for(k=0k<=n-1k++)cout<<setiosflags(ios::left)<<setw(10)<<x[k]

cout<<endl

cout<<"Yi"<<" "for(k=0k<=n-1k++)cout<<setiosflags(ios::left)<<setw(10)<<y[k]

cout<<endl

while(q)

{

cout<<"请输入所求x的值："

cin>>xx

while(xx>x[k-1]||xx<x[0])

{

cout<<"输入错误，请重新输入："

cin>>xx

}

for(k=0k<=n-1k++)

{

if(xx<x[k])

{

m=k-1

k=n-1

}

}

yyy1=y[m]*((xx-x[m+1])/(x[m]-x[m+1]))+y[m+1]*((xx-x[m])/(x[m+1]-x[m]))

cout<<"则拉格朗日分段线性插值为："<<yyy1<<endl

for(k=0k<=n-1k++)

{

if(xx<x[k])

{

m=k-1

k=n-1

}

}

if((xx-x[m])>(x[m+1]-xx))m=m+1

else m=m

yy1=y[m-1]*((xx-x[m])*(xx-x[m+1]))/((x[m-1]-x[m])*(x[m-1]-x[m+1]))

yy2=y[m]*((xx-x[m-1])*(xx-x[m+1]))/((x[m]-x[m-1])*(x[m]-x[m+1]))

yy3=y[m+1]*((xx-x[m-1])*(xx-x[m]))/((x[m+1]-x[m-1])*(x[m+1]-x[m]))

yyy2=yy1+yy2+yy3

cout<<"则拉格朗日分段二次插值为："<<yyy2<<endl

cout<<"是否输入其余要求x的值[是(1)，否(0)]："

cin>>q

}

system("cls")

}

void main()

{

lagrange()

}

---