【OpenGL ES】MVP矩阵变换

【OpenGL ES】MVP矩阵变换 1 前言

        本文主要介绍 MVP 矩阵变换，其本质是线性变换，应用见→绘制立方体。

• Model：模型变换，施加在模型上的空间变换，包含平移变换（translateM）、旋转变换（rotateM）、对称变换（transposeM）、缩放变换（scaleM）；
• View：观测变换，施加在观测点上的变换，用于调整观测点位置、观测朝向、观测正方向；
• Projection：透视变换，施加在视觉上的变换，用于调整模型的透视效果（如：矩形的透视效果是梯形）。

        上述变换依次叠加，得到一个总的变换矩阵，即 MVP 变换矩阵，mvpMatrix = projectionMatrix * viewMatrix * modelMatrix，MVP 变换作用到模型的原始坐标矩阵上，得到的最终坐标矩阵即为用户观测到的模型状态。

        空间坐标系建立后，空间中任何一个点都对应一个向量，设空间中一向量为 [a, b, c]'，为方便采用统一的格式描述线性变换，将三维空间中的向量 [a, b, c]' 映射到四维空间中的向量 [a, b, c, 1]'，同时，线性变换采用 4x4 的矩阵描述。所有向量 [a, b, c, 1]' 生成的空间仍然是一个三维空间，它是四维空间中的一个三维子空间。

        对与某些线性变换（如平移变换），若使用 4x4 矩阵描述，此矩阵可以固定，不必依赖待变换的向量；若使用 3x3 矩阵描述，此矩阵不能固定，随着待变换的向量而变化。由此说明， 4x4 矩阵具有更强的描述性。

        设三维空间中的任意向量按照以上规则映射到四维空间中的向量为 v = [a, b, c, 1]'，变换矩阵为 A 。OpenGL 为通用化接口，在获取变换矩阵时，会左乘一个初始矩阵 M，即将 MA 作为最终的变换矩阵，通常情况 M 为单位矩阵（E），即 M = E。(v 为列向量，A、M、E 都是 4x4 矩阵)

        说明：本文涉及的矩阵变换的方法都是 android.opengl.Matrix 类中的静态方法。

2 模型变换

        在介绍矩阵变换前，先介绍下单位矩阵，opengl 中初始化单位矩阵的方法如下：

public static void setIdentityM(float[] sm, int smOffset) {
	for (int i = 0 ; i < 16 ; i++) {
		sm[smOffset + i] = 0;
	}
	for(int i = 0; i < 16; i += 5) {
		sm[smOffset + i] = 1.0f;
	}
}

         说明：smOffset = sm.length - 16，sm 数组中 smOffset 之前的数，不参入接下来的线性变换。

2.1 平移变换

         设平移向量为 [x, y, z, 0]'，则 A * v 如下：

        若用 3x3 矩阵描述平移变换，即 A 为 3x3 矩阵，则 A 中的元素必须依赖于 a, b, c，这样就会降低变换的一般性（或通用性），这也解释了为什么平移变换要用 4x4 矩阵描述的问题。

        M * A 如下： 

        源码如下，m 为初始矩阵，通常取单位矩阵；moffset 为索引偏移，表示 m 中 moffset 之前的数不参与变换；x , y , z 为向量 v 在 x轴、y 轴、z轴上的平移值。

public static void translateM(
		float[] m, int mOffset,
		float x, float y, float z) {
	for (int i = 0 ; i < 4 ; i++) {
		int mi = mOffset + i;
		m[12 + mi] += m[mi] * x + m[4 + mi] * y + m[8 + mi] * z;
	}
}

2.2 旋转变换

         本节仅列出沿着 x 轴、y 轴、z 轴旋转的变换矩阵，对于沿任意轴的旋转，公式比较复杂，本文不作讨论。设旋转角度为 （角度制），其对应的弧度为。

        1）沿 x 轴旋转

        2）沿 y 轴旋转

         3）沿 z 轴旋转

        源码如下，rm 初始矩阵，通常取单位矩阵；rmoffset 为索引偏移，表示 rm 中 rmoffset 之前的数不参与变换；a 为旋转角度（角度制）；x , y , z 为旋转轴。旋转时，按照右手原则逆时针旋转 a 度。

public static void setRotateM(float[] rm, int rmOffset,
		float a, float x, float y, float z) {
	rm[rmOffset + 3] = 0;
	rm[rmOffset + 7] = 0;
	rm[rmOffset + 11]= 0;
	rm[rmOffset + 12]= 0;
	rm[rmOffset + 13]= 0;
	rm[rmOffset + 14]= 0;
	rm[rmOffset + 15]= 1;
	a *= (float) (Math.PI / 180.0f);
	float s = (float) Math.sin(a);
	float c = (float) Math.cos(a);
	if (1.0f == x && 0.0f == y && 0.0f == z) { //沿x轴旋转
		rm[rmOffset + 5] = c;   rm[rmOffset + 10]= c;
		rm[rmOffset + 6] = s;   rm[rmOffset + 9] = -s;
		rm[rmOffset + 1] = 0;   rm[rmOffset + 2] = 0;
		rm[rmOffset + 4] = 0;   rm[rmOffset + 8] = 0;
		rm[rmOffset + 0] = 1;
	} else if (0.0f == x && 1.0f == y && 0.0f == z) { //沿y轴旋转
		rm[rmOffset + 0] = c;   rm[rmOffset + 10]= c;
		rm[rmOffset + 8] = s;   rm[rmOffset + 2] = -s;
		rm[rmOffset + 1] = 0;   rm[rmOffset + 4] = 0;
		rm[rmOffset + 6] = 0;   rm[rmOffset + 9] = 0;
		rm[rmOffset + 5] = 1;
	} else if (0.0f == x && 0.0f == y && 1.0f == z) { //沿z轴旋转
		rm[rmOffset + 0] = c;   rm[rmOffset + 5] = c;
		rm[rmOffset + 1] = s;   rm[rmOffset + 4] = -s;
		rm[rmOffset + 2] = 0;   rm[rmOffset + 6] = 0;
		rm[rmOffset + 8] = 0;   rm[rmOffset + 9] = 0;
		rm[rmOffset + 10]= 1;
	} else { //沿任意轴旋转
		float len = length(x, y, z);
		if (1.0f != len) {
			float recipLen = 1.0f / len;
			x *= recipLen;
			y *= recipLen;
			z *= recipLen;
		}
		float nc = 1.0f - c;
		float xy = x * y;
		float yz = y * z;
		float zx = z * x;
		float xs = x * s;
		float ys = y * s;
		float zs = z * s;
		rm[rmOffset +  0] = x*x*nc +  c;
		rm[rmOffset +  4] =  xy*nc - zs;
		rm[rmOffset +  8] =  zx*nc + ys;
		rm[rmOffset +  1] =  xy*nc + zs;
		rm[rmOffset +  5] = y*y*nc +  c;
		rm[rmOffset +  9] =  yz*nc - xs;
		rm[rmOffset +  2] =  zx*nc - ys;
		rm[rmOffset +  6] =  yz*nc + xs;
		rm[rmOffset + 10] = z*z*nc +  c;
	}
}

2.3 对称变换

         设对称轴 u = [x, y, z, 1]'，则 A * v + v = 2 * u，即

        若用 3x3 矩阵描述对称变换，即 A 为 3x3 矩阵，则 A 中的元素必须依赖于 a, b, c，这样就会降低变换的一般性（或通用性），这也解释了为什么对称变换要用 4x4 矩阵描述的问题。 

         M * A 如下： 

         代码如下（Matrix 类中没有对称变换，此方法是笔者写的），m 为初始矩阵，通常取单位矩阵；moffset 为索引偏移，表示 m 中 moffset 之前的数不参与变换； [x, y, z, 1]' 为对称轴。

public static void symmetryM(float[] m, int mOffset,
		float x, float y, float z) {
	for (int i = 0 ; i < 12 ; i++) {
		int mi = mOffset + i;
		m[mi] = -m[mi];
	}
	for (int i = 0 ; i < 4 ; i++) {
		int mi = mOffset + i;
		m[12 + mi] += 2 * (m[mi] * x + m[4 + mi] * y + m[8 + mi] * z);
	}
}

 2.4 缩放变换

        设向量 v 在 x 轴、y 轴、z 轴上的缩放分量分别为 x, y, z，则 A * v 如下：

        缩放变换可以用 3x3 矩阵描述，保证 A 中的元素不依赖于 a, b, c，但是为了提高接口的通用性， 线性变换统一使用 4x4 矩阵描述。

         M * A 如下： 

        源码如下，m 为初始矩阵，通常取单位矩阵；moffset 为索引偏移，表示 m 中 moffset 之前的数不参与变换； x, y, z 为向量 v 在 x 轴、y 轴、z 轴上的缩放分量。 

public static void scaleM(float[] m, int mOffset,
		float x, float y, float z) {
	for (int i=0 ; i<4 ; i++) {
		int mi = mOffset + i;
		m[mi] *= x;
		m[4 + mi] *= y;
		m[8 + mi] *= z;
	}
}

3 观测变换

         设观察点坐标为 eye = [eyeX, eyeY, eyeZ, 1]'，观察方向为 f = [fx, fy, fz, 0]'，观察向上的正方向为 u = [ux, uy, uz, 0]'，向量 s = [sx, sy, sz, 0]' 为 u x f 的方向向量（x 为向量叉乘）。说明：假设 f、u、s 都是单位向量（可以通过归一化做到），并且它们相互正交（若 f 与 u 不正交，可以通过 f x s 反向求出 u），向量 u 可以理解为相机的摆向，如：可以横着拍照，也可以竖着或斜着拍照。令 e = [0, 0, 0, 1]'，则矩阵 A' = [s, u, -f, e] 为 正规矩阵，所以 ，。

        观测变换的本质是：建立一个新的坐标系，该坐标系以 eye 为坐标原点，以 s, u, -f 为 x 轴、 y 轴、z 轴，将原向量 v 映射到新坐标系下的向量 u。

public static void setLookAtM(float[] rm, int rmOffset, float eyeX, float eyeY, float eyeZ, float centerX, float centerY, float centerZ, float upX, float upY, float upZ)

4 透视变换

public static void frustumM(float[] m, int offset, float left, float right, float bottom, float top, float near, float far)