什么是平稳序列

定义：在随机过程理论中，平稳序列（Stationary sequence）是指联合概率分布函数不随时间改变的随机序列.如果一个随机序列 {Xn,n≥0}是平稳的，则其随机变量的联合分布函数为:F(X1,X2,…,Xk)=F(X1+t,X2+t,…，Xk+t)(k≥2)

其中F表示为联合分布函数t∈R，且t大于0X1,X2,…,Xk是{Xn,n≥0}中的任意K个随机变量.

在信息处理与传输中，经常遇到一类称为平稳随机序列的重要信号。所谓平稳随机序列，是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。换句话说，平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化。如果将随机序列在时间上平移k，其统计特性满足等式：

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这类随机序列就称为平稳随机序列。然而，在实际情况中，这一平稳条件很难得到满足，因此常将这类随机序列称为狭义（严）平稳随机序列。大多数情况下，虽然随机序列并不是平稳随机序列，但是它们的均值和均方值却不随时间而改变，其相关函数仅是时间差的函数，一般将这一类随机序列称为广义（宽）平稳随机序列。下面我们重点分析研究这类平稳随机序列。为简单起见，将广义平稳随机序列简称为平稳随机序列。

平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关，因此均值、方差和均方值均与时间无关，它们可分别表示为

μx=E［X（n）］=E［X（n+m）］ （1-17）

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二维概率密度函数仅仅取决于时间差，与起始时间无关；自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。自相关函数rxx（m）与自协方差函数cxx（m）（用cxx（m）表示covxx（m））分别为

rxx（m）=E［X（n+m）X*（n）］ （1-20）

cxx（m）=E｛［X（n+m）-μx］［X（n）-μx］*｝ （1-21）

对于两个各自平稳而且联合平稳的随机序列，其互相关函数为

rxy（m）=rxy（n+m，n）=E［X（n+m）Y*（n）］ （1-22）

显然，对于自相关函数和互相关函数，下面公式成立

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如果对于所有的m，满足rxy（m）=0，则称两个随机序列互为正交。如果对于所有的m，满足rxy（m）=μxμy，cxy（m）=0，则称两个随机序列互不相关。

实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质

（1）自相关函数和自协方差函数是m的偶函数，即

rxx（m）=rxx（-m），cxx（m）=cxx（-m） （1-25）

而互相关函数和互协方差函数有如下关系

rxy（m）=ryx（-m），cxy（m）=cyx（-m） （1-26）

（2）rxx（0）在数值上等于随机序列的平均功率，即

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（3）

rxx（0）≥｜rxx（m）｜ （1-28）

（4）

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（5）

上两式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大，愈来愈弱。

（6）

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