雅克比行列式是什么？

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。 

若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。

面积元证明：

二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立。

证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。

利用中值定理可知：(u+△u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+△v)-(u,v)=Ndv式中M，N为偏导数形式，可以通过简单计算得出。

当变化量很小时，将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v)(u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v)，故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。

分子分母都是一个二阶行列式，二阶行列式的计算是

|a b|

|c d|

＝ad-bc。

拓展资料：

雅可比人物介绍：

卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德国数学家。

1804年12月10日生于普鲁士的波茨坦；1851年2月18日卒于柏林。雅可比是数学史上最勤奋的学者之一，与欧拉一样也是一位在数学上多产的数学家，是被广泛承认的历史上最伟大的数学家之一。

雅可比善于处理各种繁复的代数问题，在纯粹数学和应用数学上都有非凡的贡献，他所理解的数学有一种强烈的柏拉图式的格调，其数学成就对后人影响颇为深远。

在他逝世后，狄利克雷称他为拉格朗日以来德国科学院成员中最卓越的数学家。

理解雅可比式：公式只是一种记号，关键在有方程组确定的隐函数求导数或偏导数时，解方程组会出现一个共同的分母，这个分母如果用行列式描述的话就是雅可比行列式。

对许多力学实际问题，可以通过分离变 量法求出哈密顿-雅可比方程的全积分。对于工程上的保守系统，用此法计算繁琐，但它对天体力学的摄动法却大有帮助。

简介

在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

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