蝴蝶效应是一种病吗

一、李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数是在按时间索引的配置系统上定义的实值函数。在每个时间步骤中，李雅普诺夫函数都要给配置分配一个值。如果配置发生了变化，也就是说，如果模型不处于均衡状态，那么李雅普诺夫函数的值就会减小一个固定量。李雅普诺夫函数也具有最小值，这意味着到了某个时间点上，它的值最终必定会停止递减。当发生这种情况时，模型就达到均衡了。

逐底竞争博弈：有N个博弈参与者，每个博弈参与者在每个时期都要提出一个支持水平，其取值范围为{0，1，…，100}。提出了最接近平均支持水平2/3的博弈参与者可以获得那个期间的奖励。李雅普诺夫函数刻画了该博弈的博弈参与者的策略环境，以便每一个博弈者都更愿意提供恰好低于平均水平的水平。

二、局部多数模型

将局部多数模型中的李雅普诺夫函数定义为总体中的总不一致性（total disagreement），即与相反状态的元胞相邻的所有元胞数量的总和。即使某些元胞可能带来更多的不一致性，总不一致性也满足李雅普诺夫函数的条件。因此，局部多数模型必定会收敛到均衡，不仅仅是有些时候或大部分时候，而是所有时间都是如此。

三、自组织活动模型

这个模型中由一群人和每个人可以选择去做的活动的集合组成。这个模型的关键假设是，每个人都更偏好不那么拥挤的活动，例如，更少人参加同一项活动意味着在健身房不用等待、在面包店和咖啡店不用排队。

为了证明这个模型是收敛的，我们要证明总拥挤度（total congestion），也就是整个人群拥挤水平的总和满足李雅普诺夫函数的条件。当一个人降低了他的拥挤水平时，就会降低自己对总拥挤度的贡献，并且会使他不再遇到的每个人的拥挤水平减少1，同时使他新遇到的每一个人的拥挤水平增加1。

一般来说，我们无法保证系统能够找到一个有效率的均衡，但是这种自组织活动模型几乎总能收敛到总拥挤度近乎最小的配置。

四、纯交换经济

纯交换经济由一个消费者集合组成，每个消费者都有自己的商品禀赋和偏好。每笔交易都需要双方付出一定的时间和精力。为了让双方有动力完成交易，每一方都必须有所获益，得到超过此交易成本的某个金额。

李雅普诺夫函数在交易环境中是否存在，取决于负外部性的大小。外部性的存在意味着我们不能直接说系统是不是会达到均衡。当市场上的交易包含了负外部性时，交易就不一定能提高总幸福感了。

五、没有李雅普诺夫函数的模型

有的时候，我们尝试为模型构造李雅普诺夫函数，但却无法取得成功，尽管如此，我们仍然可以积累知识。通常，我们至少能够了解模型为什么不会产生均衡。在生命游戏中，某些配置会产生均衡，而其他配置则不能产生均衡。当某个配置确实产生了均衡时，就可以写出一个特定于该配置的李雅普诺夫函数。

我们无法构建李雅普诺夫函数，并不意味着模型或系统肯定不能达到均衡。一些系统在所有已知情况下都能够达到均衡，但是没有人能够构造出李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫函数不仅可以帮助我们证明一个系统或模型能不能达到均衡，还可以告诉我们达到均衡的速度有多快。即便构建李雅普诺夫函数的努力遭到了失败，这种尝试也是有意义的。它们可以提供一些关于复杂性成因的线索。利用李雅普诺夫函数，我们可以推断出系统走向均衡的原因，还可以解释系统收敛到均衡的速度、设计信息系统（例如迪斯尼世界所采取的分时段游览的预约系统）、采取行动（例如对办公桌进行交易是不可取的）、沟通系统如何达到均衡的途径、预测系统达到平衡的时间以及进行探索。

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