第一章：插值方法

线性插值： 线性插值是最简单的插值函数，就是两点决定一条直线，用两点式表示了而已。

现在看这道题可能有点简单，到了后面再做的时候就明白这道题的霸道啦~

抛物插值： 抛物插值就是线性插值的进阶版，给出三个点，求出来的插值多项式就是所谓的抛物插值。

从线性插值中推理过来：

很明显，这个结果比线性插值精度高一些~

一般的：

对于我们的 lᵢ :

实际上吧，我觉得这里没有太大必要这样表示，但是为了后续的理解，姑且先记一下叭~绕了个小弯。

啥是余项

通俗来讲，余项就是误差，所以插值多项式的余项可以表示成：

快看这里的w眼熟不！就是上面那个展开奇奇怪怪的东西~

具体的证明不需要记，但是要记住，余项表达式只有在 f(x) 的 高阶导数存在 时才能用。

通常，我们求函数的 n+1 阶导数 max|fⁿ⁺¹(x)| = Mₙ₊₁ ，从而将误差放缩：

这里方法有一个 局限性 ，就是必须要知道导函数的上界，属于事前误差估计，那如果上界不知道呢？

事后误差估计是个怎么回事儿呢？通俗来讲，就是多算一位，分别把 Lₙ 和 Lₙ₊₁ 的式子算出来，近似相等，可以得到结果和误差：

定义： 一阶差商就是，函数值之差比上自变量之差：

计算： 使用差商表最方便

实际上牛顿和拉格朗日插值是等价的，拉格朗日插值有 高度的对称性 ；牛顿插值多项式来自于差商，其意义在于具有 承袭性 ，即增加一项可以从上一项推出来。

Newton插值余项

龙格现象： 所谓龙格现象，就是当插值多项式的次数随着节点个数增加时，有可能产生激烈的震荡从而不符合原函数。

分段插值： 分段插值就是将被插值函数分成一小段一小段，在每个小段里面逼近，从而达到比较好的效果。

分段线性插值： 将一个区间化为n个小区间，记 h 是所有区间长度的最大值，则 Ih 在[a,b]上连续、存在且在每一段上都是线性多项式，即为 分段线性差值函数 。

为了克服拉格朗日插值中，分段点处不可导的问题

样条函数 的特点是。充分光滑，即导数连续；又有一定的间断性，即分段的特性。

接下来讲讲三次样条插值函数的 计算方法

这里就不过多证明，直接上例题寻找考点吧

书后题：

后记

这一章太难了，太难了，加油兄弟们

程序代码如下。

希望能帮助到你！

牛顿插值法

#include<stdioh>

#include<mathh>

#define

n

4

void

difference(float

x,float

y,int

n)

{

float

f;

int

k,i;

f=(float

)malloc(nsizeof(float));

for(k=1;k<=n;k

)

{

f[0]=y[k];

for(i=0;i<k;i

)

f[i

1]=(f[i]-y[i])/(x[k]-x[i]);

y[k]=f[k];

}

return;

}

main()

{

int

i;

float

varx=0895,b;

float

x[n

1]={04,055,065,08,09};

float

y[n

1]={041075,057815,069675,088811,102652};

difference(x,(float

下面代码直接考入matlab运行即可：

syms f x lx;

f=1/(1+x^2);

N=input('请输入插值节点数N=');

xx=-5:10/N:5;

ff=zeros(1,length(xx));

for i=1:(N+1)

x=xx(i);

ff(i)=eval(f);

end

M = -5:001:5;

output = zeros(1,length(M));

n = 1;

for i=2:N+1

for x=-5:001:5

if x<xx(i) && x>=xx(i-1)

lx(1)=ff(i-1)(x-xx(i))/(xx(i-1)-xx(i));

lx(2)=ff(i)(x-xx(i-1))/(xx(i)-xx(i-1));

output(n) = lx(1)+lx(2);

n = n+1;

end

end

end

ezplot(f,[-5,5])

hold on

A =-5:001:5;

plot(A,output,'r');

分段越多，拟合曲线越接近原始曲线，可以调节N的值看一下

以上就是关于第一章：插值方法全部的内容，包括:第一章：插值方法、牛顿的插值法用C语言怎么编写怎么编啊、求matlab分段线性插值代码 目的消除f=1/(1+x^2);-5=<x<=5;插值产生的Runge现象等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！