回归树的优化指标是什么

对于回归树来说是处理连续型变量和分类型变量，所以不再是像之前分类树的不纯度指标了（1.信息熵，2.基尼系数），而是采用下面三种衡量回归树分枝质量的指标

1）输入"mse"使用均方误差mean squared error(MSE)，父节点和叶子节点之间的均方误差的差额将被用来作为特征选择的标准，这种方法通过使用叶子节点的均值来最小化L2损失

2）输入“friedman_mse”使用费尔德曼均方误差，这种指标使用弗里德曼针对潜在分枝中的问题改进后的均方误差

3）输入"mae"使用绝对平均误差MAE（mean absolute error），这种指标使用叶节点的中值来最小化L1损失属性中最重要的依然是feature_importances_，接口依然是apply, fit, predict, score最核心。

（mae在0.20等更新的版本里可能才会有）

这些计算的方法在我们使用sklearn的时候是无法干预的

其中N是样本数量，i是每一个数据样本，fi是模型回归出的数值，yi是样本点i实际的数值标签。所以MSE的本质，其实是样本真实数据与回归结果的差异。在回归树中，MSE不只是我们的分枝质量衡量指标，也是我们最常用的衡量回归树回归质量的指标，当我们在使用交叉验证，或者其他方式获取回归树的结果时，我们往往选择均方误差作为我们的评估（在分类树中这个指标是score代表的预测准确率）。在回归中，我们追求的是，MSE越小越好。

（这个回归树的score接口返回的并不是mse）

其中u是残差平方和（MSE * N），v是总平方和，N是样本数量，i是每一个数据样本，fi是模型回归出的数值，yi是样本点i实际的数值标签。y帽是真实数值标签的平均数。R平方可以为正为负（如果模型的残差平方和远远大于模型的总平方和，模型非常糟糕，R平方就会为负），而均方误差永远为正。

值得一提的是，虽然均方误差永远为正，但是sklearn当中使用均方误差作为评判标准时，却是计算”负均方误差“（neg_mean_squared_error）。这是因为sklearn在计算模型评估指标的时候，会考虑指标本身的性质，均方误差本身是一种误差，所以被sklearn划分为模型的一种损失(loss)，因此在sklearn当中，都以负数表示。真正的均方误差MSE的数值，其实就是neg_mean_squared_error去掉负号的数字

回归决策树树是用于回归的决策树模型，回归决策树主要指CART算法， 同样也为二叉树结构。以两个特征预测输出的回归问题为例，回归树的原理是将特征平面划分成若干单元，每一个划分单元都对应一个特定的输出。因为每个结点都是yes和no的判断，所以划分的边界是平行于坐标轴的。对于测试数据，我们只要将特征按照决策过程将其归到某个单元，便得到对应的回归输出值。

如上图所示的划分和相应的回归树，如果现在新来一个数据的特征是(6,7.5)，按照回归树，它对应的回归结果就是C5。节点的划分的过程也就是树的建立过程，每划分一次，随即确定划分单元对应的输出，也就多了一个结点。当根据相应的约束条件终止划分的时候，最终每个单元的输出也就确定了，输出也就是叶结点。这看似和分类树差不多，实则有很大的区别。划分点的寻找和输出值的确定是回归决策树的两个核心问题。

一个输入空间的划分的误差是用真实值和划分区域的预测值的最小二乘来衡量的：

其中， 是每个划分单元的预测值，这个预测值是该单元内每个样本点的值的某种组合，比如可取均值：

（输入特征空间划分为 ）

那么求解最优划分即是求解最优化问题：

其中， 和 是每次划分形成的两个区域。

关于该最优化问题的求解这里不再介绍，下面直接使用skleaen中的决策回归树来看一下决策树的回归效果，数据集使用Boston房价数据：

不进行调参的话，可以看到在测试集上R方是0.59，显然这是不太好的结果，但是一个有趣的现象是，在训练集上：

R方值是1.0，也就是在训练集上决策树预测的回归结果完全吻合毫无偏差，这显然是过拟合。这个例子也说明了决策树算法是非常容易产生过拟合的，当然我们可以通过调参来缓解过拟合。

下面绘制学习曲线来直观看一下决策树回归模型的表现，首先绘制基于MSE的学习曲线：

学习曲线如下：

再绘制基于R方的学习曲线：

上面两种都是在默认情况下也就是不进行决策树深度和叶子节点个数等条件的限制得到的结果。发现在训练集上，如果不进行限制，可以做到0偏差，这是明显的过拟合。接下来调节参数再绘制学习曲线，为节约篇幅，只调节决策树深度这一个参数，而且只绘制基于R方的学习曲线：

max_depth=1时

max_depth=3时

max_depth=5时

随着深度的增加，模型复杂度越来越高，过拟合现象也越来越明显，可以测试，当max_depth=20时，在训练集上又为一条y=1的无偏差直线。有兴趣的仍然可以修改其它参数绘制学习曲线。

决策树的局限性：

使用本系列上篇文章中的鸢尾花数据，来看一下决策树对个别数据敏感会导致的结果，在本系列上篇文章中，使用信息熵划分，其余参数默认情况下绘制的决策边界是：

接着我们删除索引为138的数据，再来绘制决策边界：

发现此时的决策边界已经完全不同了，而这仅仅只是一个数据点的影响。

综上我们知道决策树实际是一种不够稳定的算法，它的表现极度依赖调参和数据，不过虽然决策树本身不是一种高效的机器学习算法，但是它们基于集成学习的组合——随机森林(RF)却是一个很鲁棒的机器学习算法，这将在下篇开始介绍。

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