最大素数

质数一直受数学家的关注与探索。

在2000多年前，人们就在思考到底有没有最大的素数？素数有多少个？一、什么是素数质数又称素数。

一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

二、素数寻找算法灯泡是由1000以内的素数构成！1000以内素数共有168个，它们分别是：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997那么如何寻找素数呢？在公元前2世纪希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes），就已经提出了一个非常简单而且有效的素数筛法，我们称之为埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。

核心是：要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

一个埃拉托斯特尼筛法的例子三、梅森素数素数当中，有一类素数非常特别，形如2的p次方减1，17世纪法国数学家马林·梅森对它进行了深入研究。

梅森（Marin Mersenne）是一位法国神学家兼数学家，他在17世纪早期曾对这类数字展开过研究。

为了纪念梅森的贡献，学界把这种数称之为梅森数，如果梅森数为素数，则称之为梅森素数。

梅森素数是指那些可以被表示为2ⁿ-1的数，其中“n”为整数。

它们以马林·梅森的名字来命名。

举例来说，3就是梅森素数，它可以记成2ⁿ-1的形式，即2²-1。

不过，并不是所有能够以这种形式表达的整数都是素数。

譬如当n=4时，所得结果为2^4 -1=15，15不是素数，因为它可以被3和5整除。

2017年12月26日，数学界发生一件大事，美国一位普通的电气工程师Jonathan Pace，在他成为GIMPS计划志愿者的第14个年头，找到第50个梅森素数，即2的77232917 次方减1，这是目前为止人类发现的最大素数，共计23249425位。

（2018年12月7日在美国佛罗里达州，一个叫PatrickLaroche的志愿者发现了迄今为止我们能找到的最大质数——2^82,589,933-1，有24,862,048位）2017年日本出版了一本畅销书《2017最大的质数》，整本书只有写一个数字“2的74207281次方减1”，光一个质数就印了719页，足有2233万位数，你可以想象一下，这数到底有多么大。

更莫名其妙的是，这本书居然卖得极好，就连出版商的吓了一跳。

这么大的天文数字，究竟是花多少时间算出来的？而下一个数字又何时会出现？这可能是我们看到新闻的疑问，但相信人们更好奇的是，人类为何要一直用超强电脑找“最大质数”，就算找到了又有甚么意义，是吃饱太撑吗？难不成每年都要出一本《最大的质数》？俗话说“数学为科学之母”，人类研究数学的行为本身，起初都没有目的性，纯粹只是为求真理，但这些看似没有用的理论与计算，很有可能在未来成为人类文化的重要科学工具。

17世纪牛顿、莱布尼兹发明微积分时，相信也没甚么人觉得有用，但如今积分的数学原理，却奠定了现今工程学的所有基础，路上的桥墩与路面，都是千千万万的数学所构成。

但这些都不足以解释为何人们要不断找“更大的质数”，这些跟我们的生活有相关吗？事实上是有的，但就现阶段来说，与“数学难题”有比较大的关系。

近期学术界最大的新闻，便是在9月24日，英国麦可·阿蒂亚爵士宣称他破解了“黎曼猜想”，这是个数学界159年以来未解的谜题，美国克雷数学研究所在2001年甚至不惜端出100万美元奖金，来给解决这个难题的人。

由于数学的部分实在太难了，简单来说，黎曼是个超级数学天才，他生平前找到了一个跟质数表达形式有密切关系的公式，只是他无法证明这是否正确。

为了解决这个名誉与奖金，无数的数学家投身进入研究，但也都无法证明它，既然无法证明它是对的，那我只要找到反例就行了，于是无数的科学家开始使用电脑与大型计算机，不断算出新的质数来验证“黎曼猜想”，也就是说，这些每年找“最大质数”的閒事，其实是科学发展上非常重要的一环。

2001年IBM甚至开启了科学项目“ZetaGreat”大型计算机，计算了1兆个数字，发现全部都符合黎曼的预测，也就是说，黎曼猜想是对的，但没有人可以证明，只能无限地运算更大的数字来推翻。

四、素数有无限个的证明素数是无限的还是有限的？两千年前的古希腊数学家欧几里得证明了这个问题，被认为是经典之作。

以后又出现十几种证明方法。

例如欧拉的证明。

他是如何证明的呢？证明:假设素数没有无限个.设它们为P1.P2.P3.P4.……Pn.设素数集合为S，不妨再设实数a=P1*P2*P3*P4*……*Pn+1，则a不属于S，因此a为合数，且a不能被任何素数整除。

又由于合数a必然能分解出质因子，设其为p，则p必然为素数，且p能整除a。

这与a不能被任何素数整除矛盾。

所以假设不成立，素数有无限个。

五、相关猜想哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。

是否存在无穷多的孪生素数？黎曼猜想：关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。

德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。

其中第8问题中便有黎曼假设。

素数在自然数中的分布并没有简单的规律。

黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。

黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。

即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。

t为一实数，而i为虚数的基本单位。

最后的最后，都翻到这么后面了，再奖励你一个知识点！（狄利克雷定理：对于任意互质的正整数a,b, 有无数个形如an + b的质数。

其中n是正整数）参考文献：Aran Young， VOA数学，存在最大的素数么？欧几里得告诉你答案

答案：不存在证明：（反正法）假设存在最大的质数M。

设N=2x3x5x7x..........xM+1，即N为从2至M的质数的乘积再加1，那么N除以2余1，除以3余1......除以M余1，即N不能为2至M中所有的质数所整除。

若N为质数，则N必定大于M，与开始假设M为最大的质数相矛盾。

若N为合数，那么因为它不能为2至M中所有的质数所分解，那么必定存在一个质数P是N的质因数，且P>M，与开始假设M为最大的质数相矛盾。

所以，不存在最大的质数。