关于算子内插介绍

[拼音]：suanzi neicha

[外文]：interpolation of operators

证明算子有界性的一种数学方法。如果算子T 是Lp到Lq的有界算子，即对所有的ƒ∈Lp，有Tƒ∈Lq，且满足

式中M是算子的界，与ƒ无关，就称T是强(p，q)型的。最早也是最典型的算子内插定理是里斯-索林定理。

如果线性算子T 同时是强(p1，q1)和强(p2，q2)型的，其中1≤pj≤∞，1≤qj≤∞(j=1，2)，即

则对所有满足

(1)

的p和q，T是强(p，q)型的，即

并且M，M1，M2之间满足不等式

。

可以从几何上来看定理中p，q和pj，qj的关系。记

则α1、α 2表示区间[0，1]上的两点，α在α1，α 2之间，设想β是α 的函数，在α1时取值β1，在α 2时取值β2，问β在α点取什么值？关系式(1)表明β的值恰好等于在(α1，β1)和(α 2，β2)作线性内插时的线性函数在α 取的值(图1

)。这就是算子内插这个名称的由来。

里斯-索林定理说明，要证明一个线性算子T是Lp到Lq有界的，只须验证T同时是L到L和L到L有界的。也就是说，要得到T 是强型的，只需验证T 在线段的两个端点具有相应的型，即同时是强型和强型就可以了。

下面通过一个典型例子来看如何应用这种算子内插的方法。

设弮是ƒ的傅里叶变换，即

，

则

，

式中

。

从算子内插的观点来看这个定理，就显得比较简单。事实上，取p1=2，q1=2，这时不等式

是帕舍伐尔等式的推论。取p2=1，q2=∞，这时显然有 。用里斯-索林定理便得所要证的结果（图2

）。如果不用算子内插，这定理的证明就困难得多。

里斯-索林定理的条件可以减弱。首先，线性算子的条件可用次可加性代替，所谓次可加性是指对任意的ƒ，g，皆有

其次，更重要的是定理的强型条件可以用下面的弱型条件代替。称T是弱(p，q)型的(1≤q＜∞)，如果存在常数C，使得对任意的ƒ∈Lp和任意的实数λ>0，有不等式

成立，式中m表示勒贝格测度。如果q=∞，则弱(p，q)型用强(p，q)型定义。不难证明，强(p，q)型的算子一定是弱(p，q)型的。这样代替以后，p，q的限制要多一些，这可以叙述为下面的另一个十分基本的内插定理。

如果次可加算子 T同时是弱(p1，q1)型和弱(p2，q2)型的，即

式中1≤p1≤q1≤∞，1≤p2≤q2≤∞， p1<p2，q1≠q2，则对所有满足

的(p， q)，T是强(p， q)型的，即

调和分析中的许多重要算子，如哈代-李特尔伍德极大函数，奇异积分算子等的强(p，p)型(1<p<∞），都是用马钦凯维奇内插定理证明的。

除上述两个定理外，还有许多其他类型的算子内插定理。近代的算子内插理论，已经从Lp空间推广到其他许多的空间， 例如索伯列夫空间、Hp 空间、别索夫空间等等。

算子内插的方法不仅在调和分析，还在泛函分析、偏微分方程的理论中有许多应用。

参考书目

1. E.M.Stein and G.Weiss，lntroduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces， Princeton Univ. Press， Princeton， 1971.
2. A.Zygmund，Trigonometrical Series，2nd ed.， Vol. 1～2，Cambridge Univ.Press， Cambridge， 1959.