关于黎曼－斯蒂尔杰斯积分介绍

[拼音]：LiMan-Sidi’erjiesi jifen

[外文]：Riemann-Stieltjes integral

数学中常用的一种积分。它是黎曼积分的推广。通常利用黎曼积分可以计算几何形体的面积、体积，物理和力学中的功、能，物体的重心和转动惯量以及更一般的矩等等。例如，设[α， b]上分布了一些有质量的物质（或电荷）。如果分布是非均匀的，但有密度，并且密度函数ρ(x)在[α，b]上是连续的或黎曼可积的，那么物质（或电荷）对[α，b]外某点c的矩（或电位）可用形式为的黎曼积分来计算。如果计算n次矩，ƒ(x)便是(x-c)n;如果计算位能，ƒ(x)便是。然而，当分布根本没有密度函数时，黎曼积分对上述问题就失效了。因此，数学上有必要引入下面更广泛的积分概念。

设ƒ(x)，g(x)是[α，b]上两个函数（可以是复值函数）。对[α，b]上任何分点组，作和式

，

式中，记，如果存在S，使得，则称ƒ(x)关于g(x)在[α，b]上是黎曼－斯蒂尔杰斯可积的，并称S为ƒ(x)关于g(x)的黎曼－斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)。通常记S为。特别，当g(x)=x+с（с是常数）时，上面的积分S 就是ƒ(x)的黎曼积分。又如果g(x)表示[α，x]上总质量或总电荷量，那么g(xi)-g(xi-1)便是(xi-1，xi]（当xi-1=α时，应是[xi-1，xi]）上总质量或总电荷量。因此，上述新积分就能用来计算非均匀分布，特别是密度函数不存在时非均匀分布关于某点с的矩或电位。R-S积分是建立一般的曲线积分的基础。

黎曼－斯蒂尔杰斯积分有下面常用性质。

（1）如果ƒ(x)、g(x)有一个公共的不连续点，则积分不存在。

（2）线性性质。设α，β是任何两个复数，如果ƒ(x)关于g1(x)和g2(x)可积，则

如果ƒ1(x)、ƒ2(x)关于g(x)都可积，则

（3）区间可加性。ƒ(x)关于g(x)在[α，b]上可积，当且仅当对任何с∈[α，b]，ƒ(x)关于g(x)分别在[α，с]，[с，b]上都可积，此时

。

（4）分部积分公式。如果ƒ(x)关于g(x)可积，则g(x)关于ƒ(x)也必可积，并且

。

（5）如果ƒ(x)是[α，b]上连续函数，g(x)是[α，b]上有界变差函数，则ƒ(x)关于g(x)可积。

（6）设ƒ(x)是[α，b]上有界函数，g(x)是[α，b]上的有界变差函数，ωi表示 ƒ(x)在[xi-1，xi]上的振幅，即

，

则ƒ(x)关于g(x)可积当且仅当对任何给定的 η>0，和对任何分点组

，

式中 。

（7）M-l不等式。如果ƒ(x)是有界函数，g(x)是有界变差函数，并且ƒ(x)关于g(x)可积，则

，

式中是g的全变差（见有界变差函数）。

（8）如果 g(x)是[α，b]上有界变差函数，{ƒn(x)}是[α，b]上关于g(x)可积的一列有界函数，并且一致收敛于ƒ(x)，则ƒ(x)必关于g(x)可积，并且

。

（9）设ƒ(x)是[α，b]上连续函数，{gn(x)}是[α，b]上一列有界变差函数，且处处收敛于函数g(x)，又设存在常数K，使，那么ƒ(x)关于g(x)可积，且

。

随着黎曼积分发展成勒贝格积分，黎曼-斯蒂尔杰斯积分也发展成勒贝格－斯蒂尔杰斯积分(见勒贝格积分)。