关于交换代数介绍

[拼音]：jiaohuan daishu

[外文]：commutative algebra

以（含幺）交换环为主要研究对象的一门代数学科。它是以代数数论和代数几何为背景而产生与发展的，并为这两个古老的数学分支提供了新的统一的工具。

18世纪末到19世纪中期，C.F.高斯和E.E.库默尔等人在研究关于有理整数性质和方程的有理整数解的时候，把这些初等数论问题放在二次域、分圆域以及它们的代数整数环中考虑，经过J.W.R.戴德金和D.希尔伯特等人的抽象化和系统化，形成了研究代数数域和它的代数整数环的一个新学科即代数数论。比数论稍晚些时候，几何学也经历了代数化过程，从19世纪末开始，由于希尔伯特等人的工作，特别是20世纪20～30年代德国女数学家（A.）E.诺特关于理想准素分解的理论和W.克鲁尔建立的赋值论、局部环理论和维数理论，为古典几何提供了全新的代数工具。从此，交换代数也成为一门独立的学科。在20世纪50年代以后，交换代数得到很大发展，模论的研究、同调代数和各种上同调理论的建立，特别是法国数学家A.格罗腾迪克的概型理论，对于交换代数的发展起了巨大的推动作用。概型理论是算术几何化的过程的理论，它将数论和射影代数几何赋以新的高度统一的观点。利用概型理论，P.德利涅于70年代初证明了A.韦伊关于有限域上射影代数簇ζ 函数的一个著名猜想。现在，交换代数的运用已深入到微分与代数拓扑、多复变函数论、奇点理论、甚至偏微分方程等学科。

根和根式理想

以下的环均指含幺交换环。环R中全部素理想构成的集合，称为R的(素)谱，记作Spec(R)。设U是环R的真理想，(即U≠R)，则R中至少存在一个包含U的素理想，所有包含U的素理想的交称为U的根，记作。事实上，存在正整数n，使得αn∈U}。显然，。若，则称U为根式理想。特别当U=(0)（零理想）时，就是R中全部幂零元构成的理想，称为环R 的根。设k是代数封闭域，在代数几何中，n维仿射空间kn中的代数簇和多项式环 中的根式理想是反序(对于包含序)一一对应的， 并且kn中不可约代数簇和R的素理想也是反序一一对应的，这是代数几何的基点。

分式环和局部化

环R的子集S称为乘法集，是指①1∈S；

（2）α、b∈S崊αb∈S，在集合R×S上定义关系～：(α，s)～(α′，s′)匔存在t∈S使得t(αs′- α′s)=0。～是等价关系。以表示元素（α，s）的等价类，S-1R表示全部等价类组成的集合。对于加法和乘法，S-1R是含幺交换环，称为R对于乘法集S的分式环。映射ƒ:R→S-1R，是环同态，其核为Kerƒ={α∈R|存在s∈S使得sα=0}。若S中非零元素均不是R的零因子，则ƒ为单射。从而R可看成S-1R的子环。当R为整环而S=R-{0}时，S-1R就是R 的商域。设M为R模而S为R的乘法集，可以类似地定义M对于S的分式模S-1M，这是S-1R模。

最重要的分式环是取S=R-β，其中β为R的素理想，这时S-1R记为Rβ，称为R在β处的局部化。Rβ是局部环（即只有惟一极大理想的环）。类似地对S=R-β可定义R模M在β处的局部化S-1M，这是Rβ模，并记为Mβ。

S-1:M→S-1M是从R模范畴到S-1R模范畴的正合函子，它有许多好的性质。它与模的许多运算都是可交换的，并且保持模和（当S-1作用于环范畴时）环的许多性质，从而得到广泛的应用，其中重要应用之一是所谓局部－整体原则。关于环（或者模）的某个性质P称为局部性质，是指对于每个环R(或者R模M)，R（或者Mβ）有性质P匔对于R的每个素理想β)，Rβ(或者Mβ)均有性质P。环和模有不少性质是局部性质。设P是局部性质。为了对某个环R(或者R模M)检验是否有性质P，只需对每个局部化Rβ(或者Mβ)来检验即可。由于Rβ和Mβ比R和M结构简单，因此由局部性质来掌握整体特性是研究环和模的重要手段，也是代数几何和代数数论的重要研究工具。例如在代数几何中采用局部化方法研究代数簇在一点附近的局部特性（如奇异性、相交重数等）。

诺特环

环R称为诺特环，是指R的理想均是有限生成的。例如域和主理想整环都是诺特环。著名的希尔伯特基本定理是说，如果R为诺特环，则多项式环R[x1，x2，…，xn]也是诺特环。特别当k是域时，k[x1，x2，…，xn]是诺特环。

环R中的理想q称为准素的，是指x、y∈R，xy∈q，。诺特环的最重要性质是：每个理想均可表为有限个准素理想之交。由此推出，每个根式理想可以不计次序惟一地表成有限个彼此不包含的素理想之交。当k为代数封闭域时，由代数簇(不可约代数簇)和诺特环k[x1，x2，…，xn]中根式理想(素理想)的反序对应即知，kn中每个代数簇均可惟一地表成有限个彼此不包含的不可约代数簇之并，这就把kn中代数几何归结为不可约代数簇的研究，或者说，归结为诺特环的素谱Spec(R)的研究。

戴德金整环

设R为环S的子环。S中元素s称为在R上整的，是指存在首项系数是 1 的非零多项式 ƒ(x)∈R[x]，使得ƒ(s)=0。S中在R上整的全部元素是S的子环，称为R在S中的整闭包。若这个整闭包等于R，则称R在S中整闭。整环R称为整闭的，是指R在其商域中整闭。

整环D称为戴德金整环，是指：

（1）D是整闭的，②D是诺特环，③D中非零素理想都是极大理想。每个主理想整环都是戴德金整环。任意代数数域K的代数整数环OK(它是有理整数环Z 在K 中的整闭包)是戴德金整环。

戴德金整环D最值得注意的性质有两个：

（1）D中每个非零真理想均可不计次序惟一地表成有限个素理想之积，于是D的全体非零理想对于乘法是以全体非零素理想为基的自由交换幺半群。它所扩张成的自由交换群称为D的分式理想群I(D)，I(D)中元素称为D的分式理想，它是两个理想之商。戴德金整环OK中每个理想如何分解成素理想之积，是代数数论的一个重要研究课题。

（2）D中全体主分式理想(α)（0≠α∈F，F为D的商域）形成I(D)的一个子群P(D)。商群C(D)=I(D)/P(D)称为D的理想类群。

关于戴德金整环D的一个重要结果是：D为主理想整环匔D为惟一因子分解整环匔C(D)为一元群。对于任意代数数域K，理想类群C(OK)是有限交换群，它的阶称为K的理想类数。研究代数数域的理想类群和类数，是代数数论的一个重要课题。

维数理论

设是环R中素理想链，n称为这个素理想链的长度。R中所有素理想链的长度的最大值（可能是无限的）称为R的（克鲁尔）维数，记作dimR 。设R是诺特局部环，M是它的惟一极大理想，对于每个准素理想q，以δ(q)表示生成理想q所需元素的最少个数，而δ(R)表示所有δ(q)（q过R的所有准素理想）的最小值，则dimR=δ(R)。进而，若R的惟一极大理想M本身可以由δ(R)个元素生成，则称R为正则诺特局部环。

环的维数理论有直观的代数几何背景。域k上不可约代数簇V的维数dimV在代数几何中定义为V的有理函数域k(V)在k上的超越次数。另一方面，对于V上每个点P，k(V)中在P正则的函数形成环，这是诺特局部环，称为V在点P的局部环，它的维数称为V在点P的局部维数，它等于V的维数，并且P是V的非奇异点匔V在点P的局部环是正则诺特局部环。

完备化

设U是环R的理想，取{Un|n≥0}为R中零元素的基本邻域系，则R由此成为拓扑环。R中这个拓扑称为U-adic拓扑，并且，R是豪斯多夫拓扑空间。类似地，设M为R模，取为零元素的基本邻域系，则M由此成为拓扑R 模，并且M对于这种U-adic拓扑是豪斯多夫空间 。若 R 为诺特环而M是有限生成R 模，则对于R 的每个真理想U，条件满足，这时，U－adic豪斯多夫空间R 和M可以拓扑完备化成环惵 和惵模，理想U作为R 模的完备化 是环惵 的理想，惵 和 由R(和M)中 U-adic拓扑诱导出的拓扑就是 -adic拓扑，并且 =惵M。完备化函子R→惵和M→ 保持环和模的许多特性，而将R或M完备化成惵或 之后的好处，是可以采用极限和收敛等解析工具，从而，完备化也是代数几何和代数数论以及许多其他学科的重要研究手段。

交换代数

作为代数几何的代数工具，还需要比交换环更进一步的代数结构，这就是“环上的代数”。A称为环R上的代数（或简称为R代数），是指：

（1）(A，+ ，·)为环，②（A，+）为R 模，③对于每个r∈R，α、b∈A，r(αb)=(rα)b=α(rb)。若A又是交换环，则称A为R上的交换代数。R上的交换代数A称为有限生成的，是指存在有限个元素，使得。

设k为域，为多项式环，是R 的商域。著名的希尔伯特第14问题是对于k和E的每个中间域l，l∩R作为k代数都是有限生成的。利用不变量理论，日本数学家中田于20世纪70年代举出反例，否定了希尔伯特这个猜想，虽然这个猜想在n=1时是正确的。

设k是代数封闭域，kn中代数簇V对应着的根式理想U，则V的仿射坐标环 是k上有限生成的交换代数，并且没有非零的幂零元素。反之，k上每个这种类型的交换代数均是k上某个代数簇的仿射坐标环，并且从代数簇V到代数簇W的多项式映射诱导出k[W]到k[V]的k代数同态。从而V和W同构(即存在互逆的两个多项式映射)的充分必要条件是k[W]和k[V]作为k代数是同构的。于是，k上代数簇的同构分类相当于一种特殊类型的k上交换代数的同构分类。

参考书目

1. 阿蒂亚、麦克唐纳著，冯绪宁等译:《交换代数导引》，科学出版社，北京，1982。(M.F.Atiyah and I.G.MacDonald，Introduction to Commutative Algebra，Addison-Wesley， London， 1969.)
2. N.Bourbaki，Commutative Algebra，Addison-Wesley， London， 1972.
3. H.Matsumura，Commutative Algebra，2nd ed.，Benjamin， Reading Mass.， 1980.