关于局部可解性介绍

[拼音]：jubu kejiexing

[外文]：local solvability

研究线性偏微分方程Pu=ƒ在什么条件下局部有解存在。若P是常系数算子，则由基本解的存在而保证Pu=ƒ一定局部有解。在变系数情况下，柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理证明了很大一类解析的方程必然局部地有解析解存在。于是人们以为变系数线性偏微分方程也和常系数情况一样，只要不是过于“奇异”，总是局部可解的。因此，当H.卢伊在1957年发现方程，在ƒ仅只属于C∞而非解析的情况可以无解（甚至没有广义函数解）时，引起了很大的震动。从而提出了局部可解性问题。

局部可解性的一种定义是，方程Pu=ƒ当ƒ属于C∞(Rn)的某个余维数有限的子空间时，在Rn的某个紧集K附近恒有解u∈D′(Rn)存在，就说P在K中可解。这里P既可以是线性偏微分算子，也可以是拟微分算子。

20世纪60年代以来，许多数学家讨论过这个问题。设P的象征是复值函数 p(x，ξ)=Rep(x，ξ)+iImp(x，ξ)。一个重要的条件是

(Ψ)：在Rn的开集U中不存在C∞(T*U-0)中的正齐性复值函数q(x，ξ)使Im(qp)沿着Re(qp)的次特征Г 的正方向由负值变号为正值，这里q(x，ξ)≠0（于Г上）。

所谓一个函数的次特征，指的是的积分曲线。所谓正方向是指t增加的方向。可以证明，条件(Ψ)是Pu=ƒ在一点附近局部可解的必要条件；在某些情况下特别是主型算子情形也是充分条件。然而，在一般情况下，条件(Ψ)对于局部可解性是否是充分的仍未解决。

总之，局部可解性问题仍然是线性偏微分算子理论中尚未完全解决的重要问题。