关于边界层方程数值解法介绍

[拼音]：bianjieceng fangcheng shuzhi jiefa

[外文]：numerical solutions of boundary layer equations

边界层理论是德国L.普朗特在20世纪初建立起来的。当流体流经物体表面时，靠近壁面边界很薄的一层，粘性效应很重要。利用粘性边界层很薄的特点，可以把流体力学运动方程（即纳维－斯托克斯方程）中量级较小的各项忽略掉，简化成为边界层方程。边界层理论为粘性流体力学的应用开辟了广阔的道路，在近代力学中起着重要的作用。

以平面问题为例：定常二维不可压缩流的边界层方程组，由一个连续性方程和两个动量方程组成，即

式中u、v为沿着x、y方向上的速度分量;p、ρ和v分别表示压力、密度和运动粘性系数。边界条件要求在不渗透的固体表面上，两个速度分量为零。在边界层外缘，u渐近地等于外缘速度ue(x)，所以有：

(2)

另外，还要给定压力梯度дp/дx。由于式(1c)中的压力p只是x的函数，它与外缘速度之间的关系为：

。

方程组(1)是非线性偏微分方程组，求解很困难，一般需用数值方法，这里主要介绍相似性解法和差分解法。

其要点是引进无量纲相似参数，将偏微分方程转换成常微分方程，然后再用数值方法求解。德国Н.布拉西乌斯在1907年首次用此法解压力为常数的平板绕流问题。在连续性方程中引进流函数Ψ，即u=дΨ/дy，v=-дΨ/дx，并定义一个相似参数同时令f(η) 为无量纲的流函数。速度分量u、v及其导数дu/дy和д2u/дy2均可以从Ψ 求出，而且都可以用函数 f(η)及其高阶导数表示。最后，原方程组(1)变成一个三阶常微分方程：

f冺＋ff″＝0， (3)

对应于边界条件(2)， 要求f(0)＝f′(0)＝0，f′(∞)＝1。这是两点边值问题。一般的作法是先假设f″(0)＝α， 从η＝0的地方对方程(3)进行数值积分。当η→∞时，要求f′(η)→1。如果条件不能满足，必须更改 α的初值，反复迭代到满足 f′(∞)＝1的条件为止。但通过变数的转换，也可将这个两点边值问题换成初值问题，求解时不需要反复迭代。令ζ=α1/3η，α仍然代表f″(0);再令f(η)=α1/3F(ζ)，则f′(η)=α2/3F′(ζ)，f″(η)=αF″(ζ)，f冺(η)=α4/3F冺(ζ)。代入方程式(3)，得到一个同样形式的方程：

F冺(ζ)+F(ζ)F″(ζ)=0，(4) 但边界条件有些不同，变成F(0)＝F′(0)＝0，F″(0)＝1三个初始条件，正好用数值积分直接求F(ζ)，而后利用f′(∞)=1=α2/3F′(∞)求α，即

(5)

方程(4)的具体解法， 是把它改为三个一阶常微分方程，令F的一阶导数为G，二阶导数为H，则有：

F′＝G，G′＝H，H′＋FH＝0， (6)F、G、H为三个未知变数，相应的初始条件为：F(0)＝0，G(0)＝0，H(0)＝1。这组一阶常微分方程可用一般的数值积分法求解。

这种解法是将微分算符近似地用差商代替，把微分方程改为差分方程然后再求解。在有压力梯度的流动中，相似条件不能满足。用前面相同的坐标变换，即但此处应令由于相似性假设不适用，流函数f是ξ、η的函数。通过坐标转换，方程(1b)变为：

， (7)

式中 f′、f″、f冺 均为 η 的导数；f 为 ξ 的导数；为压力梯度参数。差分－微分方程是将上式的 ξ导数项改用差分形式，而在η方向仍保持微分形式。这样，方程(7)变成在 η 方向上的常微分方程，具有在η＝0，η＝∞的两点边界条件，可用迭代法求解。近来，人们直接将边界层方程的所有偏导数均用差分表示。这类差分法的格式很多（见有限差分方法），现以凯勒的差分格式为例。 此法首先将原方程〔如方程(7)〕改写成几个一阶偏微分方程组，而后将所有一阶导数均用中心差分，给出具有二阶精度的差分方法。现将 f(ξ，η)对 η的一阶导数用 g(ξ，η)表示，二阶导数用h(ξ，η)表示。方程(7)可改为：

(8a)

。 (8b)

上两式均在点上取值，它们的差分方程为：

(9a)

(9b)

方程(8b)则在点上取值，如

在这些式子中，还有一些非线性项，如g卾，(fh)i+1，须进行线性化，如果把gi+1和gi的差值看作小量，并忽略小量二阶以上的项，即得出线性化关系式：

将以上各式代入(8b)，即可得出在i+1截面上的线性差分方程。连同(9a)和(9b)一起，并结合相应的边界条件，便可联立求解三个未知量f、g和h。从f即可求流函数Ψ，从而可计算出两个速度分量u和v。