关于直线几何介绍

[拼音]：zhixian jihe

[外文]：line geometry

以直线为基本元素的几何学。人们习惯于以点为几何基本元素，而把其他几何图形作为点的集合。但是，也可以把其他一些几何对象作为基本元素。例如以直线为元素就有直线几何学，以平面上的圆或三维空间的球面作为基本元素，就有圆素或球素几何学，等等。这样，以点为基本元素的几何就可以叫做点几何学。

射影平面p2上的直线几何只是点几何的对偶。三维射影空间p3的直线构成一个四参数族，p3的直线几何值得特别注意。

设在三维射影空间p3里，建立了齐次坐标系。p3里的一条直线p可以用它上面两点(y)，(z)来决定。取这两点的坐标所构成的矩阵

令

表示矩阵的二阶行列式，则pij＝-pij。因此，可以省掉pij中的一半，剩下六个：

容易证明：如果在p上取任意其他两点来代替(y)，(z)，所得到的pij和原来的成比例；还可以证明，上述六个pij满足一个二次方程

倒转来，已给不都等于零而满足Ω(p，p)=0的六个pij，必有惟一的一条直线，它上面两点的坐标所构成的二阶行列式和所给pij成比例。因此，不都等于零而满足Ω(p，p)＝0的六个pij 总可以看做p3里一条直线p 的齐次坐标(p)=(pij)，叫做普吕克坐标。

p3里一条直线也可以看做两个平面的交线。令，不难证明

两条直线p，q相交的充要条件是它们的坐标(p)，(q)满足双线性方程

两条直线p，q的坐标(p)，(q)的线性组合(λp＋μq)一般不是一条直线的坐标。三条直线的坐标的线性组合也是如此。但是，①若p，q为相交直线，则当(λ，μ)≠(0，0)时， 线性组合(λp＋μq)代表直线，而且一切这样的直线构成p，q所确定的线束；

（2）若p，q，r为共点而不共面的直线， 则(λ，μ，v)≠(0，0，0)时，线性组合(λp＋μq＋vr)也代表直线，而一切这样的直线构成p，q，r所确定的线把；

（3）若p，q，r为共面而不共点的直线，则它们的一切线性组合(其中系数不都是零)构成它们所确定的线场。

含直线坐标的一个齐次方程代表一个线丛；两个独立联立方程代表一个线汇；三个独立联立方程代表一个线列。一般地，它们依次含有∞3，∞2，∞1条直线。若这些方程是线性的，就有以下事实。

（1）一个线性方程

式中αij是常数，代表一个线性线丛。若αij是一条固定直线α的坐标，则Ω(α，p)是一个“特殊线性线丛”，它是一切同α相交的直线所构成。若αij不是一条直线的坐标，则经过空间每一点或在每一个平面上，线丛的直线构成一个线束，这样，在p3里，线丛里线束的顶点和它所在的平面之间，就建立了一宗一一对应关系，叫做零配极系。若(xj)和(uj)依次表示点坐标和平面坐标，则零配极系中的点面对应可以写成

式中(αij)是反称方阵，

（2）两个线性无关的线性方程联立起来代表一个线性线汇，最一般的线性线汇是由一切同两条相错的固定直线都相交的直线所构成。

（3）三个线性无关的线性方程一般地代表一个二次线列，即一个直纹二次曲面的一族母线。

如果把pij看作五维射影空间p3的齐次点坐标，则Ω(p，p)=0代表p3里的一个满秩二次超曲面V，它的点和p3里的直线一一对应。经过p3里的一个坐标变换，这个V 的方程可以化为＝0。p3里两条相交的直线对应于p3里 V上两个对于V 共轭的点。

每一个关于p3里直线的命题，对应于一个关于p3里V的命题。

（1）p3里的线束对应于V上的直线，V上有∞3条直线。

（2）p3里的线把或线场都对应于V上的平面。V上的平面构成两个三参数族，一族代表p里的线把，另一族代表线场；同一族的两个平面总有惟一的一个公共点；不同族的两个平面一般不相交，如果相交，就交于一条直线。

（3）p3里一个线性线丛对应于p3里一个超平面和V 的交集，即一个三维二次曲面；p3里的一个特殊线性线丛对应于p3里V的一个超切面和V的交集，即一个三维二次锥面。

（4）p3里一个线性线汇对应于p3里一个三维平面和V 的交集，即一个二维二次曲面V；一般地，它上面的点都和V上两个点共轭。

（5）p3里的一个二次线列一般地对应于p3里V上一条二次曲线。

作为以上事实的推广，可以考虑n维射影空间Pn里的k维平面(1≤k≤n-1)。在k维平面上取k+1个独立点，以它们的齐次坐标为行，就得到一个(k+1，n+1)矩阵，这个矩阵的k+1阶行列式可以作为Pn里k维平面的齐次坐标（格拉斯曼坐标），它们满足若干个二次式。把这些坐标看作维射影空间Pr的点的齐次坐标，就可以得到Pn里的k维平面和Pr里一个(n-k)(k+1)维流形 (格拉斯曼流形)上的点的一宗一一对应关系。

参考书目

1. D.M.Y.Sommerville，Analytical Geometry of Three Dimensions，Cambridge Univ.Press，London，1934.