关于解析函数介绍

[拼音]：jiexi hanshu

[外文]：analytic function

能展开成幂级数（见解析函数项级数）的函数。它是复变函数研究的主要对象。设ƒ(z)是定义在平面开集D内的一个单值的复值函数，α是D内一点。若ƒ(z)在α的一个邻域内可表为以 (z-α)为项的幂级数，则称ƒ(z)在α处是解析的；若ƒ(z)在D内处处是解析的，则称ƒ(z)为D内的解析函数。

全纯函数

又称正则函数。历史上对解析函数的研究是从多方面开始的。设ƒ(z)是平面开集D内的复变函数，z是D内一点，若极限

(1)

存在且有限，则称ƒ（z）在z处可导，这个极限值记为ƒ′(z)，称为ƒ(z)在z处的导数。这是实变函数导数概念在复平面上的形式推广。不过这种推广所蕴涵的内容十分丰富，这是因为(1)中的z+h乃是z的二维邻域内的任一点，极限(1)存在的条件就要强得多。

记则。若ƒ(z)在z处可导，则在(x，y)处可全微分并且满足等式

， (2)

习惯上称此为柯西－黎曼方程。不过，J.le R.达朗贝尔在流体力学的研究中早已获得这组等式；而最早弄清复变函数可微条件的是L.欧拉。所以这组等式又称为达朗贝尔－欧拉方程。

设ƒ(z)在D内连续，у是D内一路线，参数方程为z(t)，0≤t≤1。复积分

(3)

可视为路线у的泛函。A.-L.柯西研究了复积分(3)的值仅与路线端点有关的条件，他证明了：若ƒ(z)在单连区域D内处处有连续导数，则复积分的值将无关于у的选择，而只决定于у的端点(1825)。É.-J.-B.古尔萨改善了这个结论的条件，只要求函数ƒ(z)在D内处处有导数(1900)。这是柯西理论的基础。据此不难推出，圆域内处处可导的函数与该函数的复积分的值只决定于路线的端点，是两个等价的事实。从此，一个开集内的复变函数，如果处处有导数，则称此函数为这个开集内的正则函数，受法语习惯的影响，也称为全纯函数。

柯西理论的一个重要结果是，正则函数在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数；逆命题亦真。所以解析与正则是等价的。

外尔斯特拉斯意义下的解析函数

K.（T.W.）外尔斯特拉斯是以幂级数为出发点开展对解析函数研究的。设幂级数

(4)

的收敛半径是一正数，则在以α为心的一个圆盘Uα内得到了一个解析函数，记为P(z，α)。对Uα内另一点b，P(z，α)在b处有幂级数表示，则在一个圆盘Ub内也得到一个解析函数P(z，b)，而圆盘Ub可能不完全包含于Uα之中。在Uα内取值P(z，α)、在Ub内取值P(z，b)的函数称为P(z， α)从α到b的解析开拓。对Ub内任一点с，P(z，b)在с处有幂级数表示，因而有P(z，b)从b到с的解析开拓。这样，从幂级数(4)出发，沿着所有路线进行所有可能的解析开拓，便获得一个外尔斯特拉斯意义下的解析函数。不过还应该指出，这种函数可能已非单值而是多值的了。

对于区间I上的实变函数ƒ(t)，若在I的任一点的适当邻域内ƒ(t)可以表示为一个收敛的幂级数，为鉴别起见，称ƒ(t)为I上的一个实解析函数。

调和函数与共轭调和函数

设ƒ=u+iv是一解析函数，则u=u(x，y)与v=v(x，y)必在定义域内满足拉普拉斯方程；u和v都是调和函数。两调和函数u与v，若在定义域内处处满足柯西-黎曼方程(2)，则称v是u的共轭调和函数。一般地说，一个调和函数不一定有单值的共轭调和函数。例如在z≠0上的调和函数log│z│的共轭调和函数是v(z)=argz，但在z≠0上它并非单值。