关于电磁规律的协变形式介绍

[拼音]：dianci guilü de xiebian xingshi

[外文]：covariant form of electromagnetic law

狭义相对论指出，对于一切惯性参照系，物理规律都是相同的，而且不同惯性系之间的变换关系是洛伦兹变换。因此，所有描述基本物理规律的方程式，都应该在洛伦兹变换下保持不变。这种不变性就称为洛伦兹不变性。

为了显示一个或一组物理方程的洛伦兹不变性，通常将它表示成这样的形式，使得方程中各项在洛伦兹变换下都具有确定的，并且彼此相同的变换性质。这样，当从一个惯性参照系变换到另一个惯性参照系时，就能得到相同的方程式。具有上述形式的方程就称为协变形式的方程。

洛伦兹变换是一个四维变换，因此在洛伦兹变换下的矢量常称为四维矢量或简记作4-矢量。例如三维空间的坐标(x1，x2，x3)配上时刻t就合成一个4－矢量(x0，x1，x2，x3)，其中x0=сt，с为真空中光速。此矢量称为四维时空坐标xμ(μ＝0，1，2，3)。在电磁量（本条采用高斯单位制）中，通常的三维电流密度（j1，j2，j3）同电荷密度 ρ 配成一个四维矢量(j0，j1，j2，j3)，其中j0=ρс。这个矢量就称为四维电流密度 jμ。洛伦兹规范下的电磁矢量势(A1，A2，A3)和标量势嗞也配成一个 4-矢量(A0，A1，A2，A3)，其中A0=嗞，称为四维电磁势Aμ。当两个惯性参照系s和s′的空间坐标轴取得彼此平行而且s′沿x轴方向以速度v相对s运动时（并取t=t′=0为两参照系坐标原点相重合的时刻）两者时空坐标间的变换关系为：

(1)

此即时空坐标的洛伦兹变换。根据矢量的变换性质，s和s┡中电流密度和电磁势也具有类似的变换关系：

(2)

由此可以得出，如果在s参照系中有一静止的均匀导体回路，其内j10而ρ＝0，则在s′参照系中将观测到ρ′0（见图）。如从s′参照系观测，图中AB段就将带负电，而CD段将带正电。上述电荷的出现可用洛伦兹收缩来说明。与此相应，在s参照系中嗞＝0，只有A；而在s′参照系中嗞 ┡和A′都将不为零。

在洛伦兹变换下，电场强度E和磁感应强度B合起来按一个二阶张量来变换，此张量用矩阵表示为：

它的分量记作Fμv（μ、v从0到3），并称为电磁场场强张量。在上述两个惯性参照系s和s′中的场强值，有如下的关系：

E'1=E1， B'1=B1，

(3)

当略去的小项时，上式可写作

。 (4)

v代表在s系中所观测的s′系的速度。这样，若在s系中只有电场或只有磁场，则在s′系中将同时有电场和磁场存在。以上结果表明了电场同磁场之间深刻的内在联系，实际上它们是统一的电磁场场强张量的不同分量。

电磁场的能量密度u和能流密度(S1，S2，S3)以及动量密度(g1，g2，g3)和动量流密度φij(i，j取1到3)合起成一个二阶张量

此张量称为电磁场的能量-动量张量，并用Tμv表示。

麦克斯韦方程组中的两个方程

， (5)

可以合起来用

(6)

表示，其中

v=0代表式(5)的第一式，v=1，2，3代表式(5)的第二式。代表张量Fμυ的四维散度，它是一个四维矢量。这样式(6)左右两方都是四维矢量，符合协变要求。

麦克斯韦方程组中的另外两个方程

(7)

可以合起来用

(8)

表示。注意，前者代表

这是因为洛沦兹变换不是正交变换，故对于矢量和张量还必须区别为逆变和共变两类。前面所说的xμ、jμ、 Aμ和这里的微分算符都是逆变矢量，而微分算符则为共变矢量。式 (8)中每一项都代表一个三阶的逆变张量，故该式是协变的。

这里， 对于指标(μ，v，σ)为完全反对称的，故式(8)实际上只包含四个独立的方程，它们的(μ，v，σ)可取为(1，2，3)，(2，3，0)，(3，0，1)和(0，1，2)。当(μ，v，σ)取(1，2，3)时，式(8)相应于 墷·B＝0，而当(μ，v，σ)取(2，3，0)，(3，0，1)和(0，1，2)时，式(8)相应于

。

电荷守恒定律

， (9)

其协变形式为

， (10)

即四维电流密度的四维散度为零。而洛伦兹规范下矢量势和标量势的方程

(11)

其协变形式即为：

(12)

式中，

在洛伦兹变换下，三维力密度(f1，f2，f3)和功率密度w亦配成四维矢量(f0，f1，f2，f3)，其中，并称为四维力密度，用fμ表示。这时，洛伦兹力公式：

， (13)

和功率公式

ω＝E·E。 (14)

可以合起来写成

， (15)

其中jv表示(ρс，-j1，-j2，-j3)为一共变矢量。式(15)在μ=0时化为式(14)，而在μ=1，2，3时化为式(13)。式(15)两侧都是逆变矢量，因而方程是协变的。

能量和动量守恒定律

， (16)

如前所述s为能流密度；Φ为动量流密度，系张量；g为动量密度，，可以合起来写成下述协变形式的方程：

。 (17)

以上结果还显示了电磁场能量和动量之间密切的内在联系。

也可采用与以上不同的另一种数学描述，即不引入x0＝сt，而引入一个虚数x4＝iсt来构成四维时空矢量(x1，x2，x3，x4)，在这种描述下，洛伦兹变换形式上为一个正交变换，于是就不必区分共变和逆变两类矢量和张量，从而在数学上得到了简化。