关于同调代数介绍

[拼音]：tongdiao daishu

[外文]：homological algebra

代数学的一个非常重要的分支，是由美国的数学家与欧洲的数学家在20世纪40年代彼此独立而几乎同时开始发展起来的。同调代数源出于代数拓扑学，因而它仍保留着一些代数拓扑学中所用的术语，如循环（闲链）、边缘（边缘链）等等，而代数拓扑学本来就是把几何概念转换成代数概念的一种理论。

代数拓扑学中的同调群概念与同调代数有密切联系。在n维欧氏空间En中适当取q+1个点α0，α1，…，αq，q≤n，它们将张成一个q维超平面。取，则所有这些x之集成为一个q维单形Sq，常记为(α0，α1，…，αq)。它以αi为其顶点，αi全为正数的点称为内点，其余的点，称为边缘点。称为其一个边缘面，是一个r维面，这里i0，i1，…，ir是0，1，…，q中的任何r+1个数，取C为En中有限个单形之集，其中任两个单形之交或为空集，或为它们的一个r维面，而且若Sq属于C，则其任一个r维面也必属于C。以Cq表示由C中所用的q维单形Sq所生成的加法自由交换群，并于Sq=(α0，α1，…，αq)时，定义

这里的±号是按照某种定向规则而确定的，于是得到一个链复形

， (1)

且嬠q-1嬠q=0，所以Im嬠q吇Ker嬠q-1（Im嬠是嬠的像，Ker嬠是嬠的核），这时，商群Hq=Ker嬠q/Im嬠q+1称为C的第q个同调群，同调群的理论集中地反映出复形的有关其边缘的几何性质。“同调”一词源出希腊文，意指“和谐”或“一致”。

代数学家不考虑上述同调理论中的几何意义，直接讨论式(1)，研究其同调群，式中的Ci已不仅是一些交换群，而是环上的模。同调代数的理论已经变成研究环、一般代数、李代数与群的一种不可缺少的有力工具。

以下述及的环U与B都有单位元，模都是酉模，且一般是左U模。左U模范畴记作。

范畴中的一个复形是一列(A，嬠)

， (2)

式中An都是U模，嬠n是模同态，而且嬠n-1嬠n=0， Ker嬠n称为n循环，lm嬠n+1称为n边缘。于是Im嬠n+1吇Ker嬠n，定义是复形(A，嬠)的第n个同调模。若式(2)中对所有的n都有Im嬠n+1=Ker嬠n，即所有Hn(A，嬠)都等于0，则(A，嬠)是一个正合列。特别，若在n≥3与n<0时，所有的 An都等于 0，而(2)又正合，则为短正合列，这时嬠2必为单同态，嬠1必为满同态，而A0=A1/嬠2A2。

假定(B，d)也是一个复形， 设有模同态ƒn:An→Bn，使下图可交换

则ƒ={ƒn}称为由(A，嬠)到(B，d)的一个复形映射。于是，以所有的U模的复形为对象，以复形映射为态射，则得一个阿贝尔范畴，称为复形范畴，记为Ucm。由于，所以，ƒn将引出Hn(A，嬠)到Hn(B，d)的一个模同态ƒn，称为同调映射。若ƒ与g都是(A，嬠)到(B，d)的复形映射，且有，使对所有的n，恒有，则ƒ与g为同伦的，记为h:ƒ埍g，这时必有ƒn=gn。

固定任一整数n，每一个复形(A，嬠)将对应其第n个同调模Hn(A，嬠)，而复形映射ƒ:(A，嬠→(B，d)将引出同调映射ƒn， 因此Hn是一个由Ucm到的函子，它把(A， 嬠)变成Hn(A，嬠)，把ƒ:(A，嬠)→(B，d)变成ƒn，这个Hn称为第n个同调函子。

复形的短正合列 是指如下的交换图：

(3)

其中各行均为复形， 各列均为短正合列， 表单同态，表满同态。对于(3)， 有在同调代数中各个方面都起着重要作用的同调正合列定理：

有连接映射(模同态) 使有正合列（δ，嬠，d 等记号都省掉）

与上述同调相对偶的是上同调。设An为U模，则

(4)

称为上复形，式中嬠n嬠n-1=0，而商模称为上复形(4)的第n个上同调模。

正合列

， (5)

当p0，p1，p2，…，pn，…都是投射模时，称为A的投射分解。由于每一个U模都是一个投射模的同态像，所以，每一个U模A都有投射分解。如果(5)中存在一个最小的n，使Im嬠n为投射模，那么，尽管A的投射分解并不惟一(可能有其他的投射分解)，这个n却是不变的，称为A的投射维数， 记为PdA=n。如果每一个lm嬠n都不投射，那么PdA=∞。于是，PdA=0的意思就是A为投射模；若PdA=1，则A可分解成两个投射模之商，A=p0/p1；若PdA=2，则A是三个投射模之商，A=p0/p1/p2，…。 范畴中各模的最大投射维数是这个范畴的一个总体性质，因而也是环U本身的一个总体性质，所以称为U的左总体维数。已知:若ldU=0，则U为满足极小条件的半单环;若ldU=1，则U为左遗传环。同样可定义U的右总体维数rdU。一般说来，U的左、右总体维数并不相等。

与上述投射分解相对偶，正合列

，

当I0，I1，…都是内射模时，称为A的内射分解。由于每一个A都可嵌入到一个内射模内，所以A的内射分解一定存在。同样可定义A 的内射维数IdA。在中各模的最大内射维数正好等于U的左总体维数ldU。

设T是一个自 到BM 的共变加法函子，由下列的办法来定义的一系列新的函子LnT与RnT，称为由T 所导出的导函子。

取A与B均为U模，ƒ:A→B为模同态，(p，嬠)与(Q，d)分别为A与B的投射分解，则有复形映射{ƒn}使有交换图

于是有交换图

(6)

这里两行都是B模的复形，它们的第 n个同调模，将表以与， 而由Tƒn所引出的同调映射则表以LnT(ƒ)，其实这些LnTA与LnTB并不随所取的投射分解而变，换成A与B的其他的投射分解，仍得到同样的LnTA与LnTB。同时，LnT(ƒ)也不随所取的复形映射{ƒn}而变，换ƒn为gn，只要图(6)仍然是可交换的，那么就有相同的同调映射。 因此，由A变成LnTA，由ƒ:A→B得到LnT(ƒ)，则得一个共变函子LnT，称为T的左导函子。

若改用A的内射分解，则用同样的方法可得到T的右导出函子RnT，它是一个共变函子。

如果 F是一个逆变加法函子，那么取 A的投射分解(p，嬠)，就得上复形(Fp，F嬠)，其第n个上同调模将记为RnF(A)，因而可由F导出的右导出函子RnF，它是一个逆变函子。

若对所有的n>0恒有LnTA＝0，则A称为一个左T-零调模。零调模在谱序列的理论中非常重要。

取M为右U模，对任一个左U模，定义，并对模同态σ:A→B，令T(σ)=1圱σ:M圱A→M圱B， 则得一个由到交换群范畴AG的共变加法函子T，此T也常表成M圱-。由T所导出的第n个左导出函子将表以Tor將(M，-)，换言之，若取A的一个投射分解为(p，嬠)，则得一个复形(M圱p，1圱嬠)，此复形的第n个同调模就是Torn(M，A)(U有时可省去)。特别，Tor0(M，A)=M圱A。

同样，让A固定，则得函子－圱A，由其导出的第n个导出函子为Torn(-，A)，所以Torn(-，-)实际上是一种双函子，它对两个变量（让其一固定，另一个变动）都是共变加法函子。

符号Tor是英文Torsion一字的前三个字母，它的意思是“挠性质”。假定U是一个整环（无零因子的交换环），而A是一个U模，让tA={α∈A│有某一非零α∈U，使αα=0}，于是tA是A的一个子模，称为A的挠子模。让A对应tA即得 到其自身的一个共变函子t；另一方面，让Q为U的商域（也看成U模），令M=Q/U为商模，则可证明，函子t（可称为挠函子）与函子Tor(M，－)是自然等价的，故用符号Tor。

固定一个左U模x，对于任一个左U模A，定义 FA=HomU(A，x)，并对ƒ:A→B，定义F(ƒ)：Hom(B，x)→Hom(A，x)，使在σ∈Hom(B，x)时有交换图(7)。

(7)

F(ƒ)(σ)=σF，于是，F是一个由 到AG的逆变函子，其第n个右导出函子RnF将表以Ext(-，x)。因此，先取A的任一个投射分解(ρ，嬠)，再作上复形， 则其第n个上同调模就是 Extn(A，x)，特别，Ext0(A，x)=Hom(A，x)。

如果让A固定，令TX=Hom(A，x)，并对g:x→Y，定义T(g):Hom(A，x)→Hom(A，Y)，使T(g)(τ)=gτ如交换图(8)，则T为到AG的共变函子， 其第n个右导出函子将表以Extn(A，-)，换言之，Extn(-，-)是一个双函子，它对第一个变量A是逆变的（让x 固定时）；而对第二个变量x是共变的（让A固定）。

(8)

与Tor的情况类似，Ext是英文 Extension一字的前三个字母组成的符号，其意为“扩张”。设x与A都是U模，E称为x由A的一个模扩张，是指有短正合列0→x→E→A→0。两个扩张E与E┡称为等价的，意指有φ:E→E┡使下图可交换

这里的φ必是一个模同构，因而上述等价性是一种等价关系，以e(x，A)表所有等价类之集合，可以证明，e(x，A)与Ext1(A，x)是一一对应的。所以可认定e(x，A)就是Ext1(A，x)。

设G为乘法群，Z表整数环，以G的所有的元素为生成元素可得一个加法自由群ZG，因此ZG 中每一个元素都惟一地表成 的形状，这里m(x)∈Z，且只能有有限个m(x)不为0，再定义，则 ZG是一个环，称为Z上的群环。任一个ZG模也称为G模。如果在z∈Z时，定义，则Z作成一个左G模。

当A为G模时， 称为G的其系数在A内的上同调群。对偶地，若B为右G模，称为G 的其系数都在B内的同调群。不难证明

这里的称为ZG的增广理想，它在群的同调理论中十分重要。

各种群的 Hn与Hn的计算与理论是同调代数与群论中的重要研究课题。

它是同调代数中的一个重要的理论，也是一种研究同调模的重要方法。

设A是一个U模，若有模自同态d:A→A使B=Imd吇Z=Ker d，即dd=0，则(A，d)称为一个微分模，d是其微分，而商模Z/B是(A，d)的同调模H(A，d)。与复形的情况类似，B为d的边缘，而Z为d的循环。微分模的序列{Ar，dr}(r≥1 是整数)称为一个谱序列，是指对每一个r都有。让Z2Ker d1，B2=Im d1，则A2=Z2/B2，又定义Z3与B3，使A3=Kerd2/Imd2=(Z3/B2)/(B3/B2)=Z3/B3，…，依此类推，可让Ar=Zr/Br，于是得一链，令，，则A∞=Z∞/B∞称为谱序列{Ar，dr}的极限模。在r很大时，Ar可作为极限模的“近似”。

在同调代数中常用到的谱序列实际上是由双分次模所组成的，所谓双分次模，就是一些模Epq的集合，p与q都是整数。设E与D都是双分次模，且有整数对(α，b))，使对任何p、q都有一个模同态，则d:E→D称为具有双分次(α，b))的映射。若d:E→E有次数(α，b))，且dd=0，即，凬p，q，则d是微分，而为其同调双分次模。假定(Er，dr)都是微分双分次模，且，那么，这对于(Er，dr)也是一个谱序列。

用过滤的办法，可以从一个复形(A，嬠)得到一个很有用处的谱序列。假定对每一个p∈Z，FpA都是A的一个子复形，并且有

，

则F称为复形(A，嬠)的一个过滤。于是，对任何p就有一个复形的短正合列，由同调正合列定理，得

， (9)

让

，

式(9)就可改写为

，

这里α，β，γ是有次数(1，-1)，(0，0)与(-1，0)的映射。以E1表示双分次模{Epq}，并取，易知，d1:E→E有次数(-1，0)，且d1d1=0，故d1是E1的微分。以E2表其同调双分次模，再适当定义d2:E2→E2为E2的微分。依此类推，即得一个谱序列(Er，dr)，只要F取得恰当，这个谱序列可以提供(A，嬠)的同调模的一些信息。

参考书目

1. H.Cartan and S.Eilenberg，Homological Algebra， Princeton Univ. Press， Princeton， 1956.
2. S.MacLane，Homology， Springer-Verlag， Berlin， 1963.
3. J.J.Rotmann，An Introduction to Homological Algebra，Academic Press， New York， 1979.