关于线性代数群介绍

[拼音]：xianxing daishuqun

[外文]：linear algebraic group

具有仿射代数簇结构的群。它是抽象群论与代数几何相结合的产物。

设G是代数闭域K上的代数簇，如果G还具有群的结构，并且群的乘积运算G×G→G与求逆元运算 G→G都是代数簇的态射，那么G称为K上的代数群。如果G是仿射簇，那么G称为仿射代数群或线性代数群；如果G是不可约的完备簇，那么G称为阿贝尔簇。虽然代数群的定义与拓扑群的定义十分相似，但是代数簇的积不是拓扑积而是扎里斯基积，所以一般地说，代数群不是拓扑群。

代数群的同态是兼为群的同态与代数簇的态射的一个映射；同构概念由此自然得出。易知，代数群的闭子群也是代数群。代数群的同态像是闭的，所以也是代数群。代数群关于它的正规闭子群的商群也是代数群。对任意代数群G，总可以惟一找到一个正规的仿射子群N，使G/N是阿贝尔簇。因此，代数群的研究主要是线性代数群与阿贝尔簇的研究。阿贝尔簇的研究属于代数几何范畴，阿贝尔簇的群结构很简单（都是阿贝尔群），而且被簇结构惟一确定（簇同构的两个阿贝尔簇一定同构）。线性代数群的研究则更多是按代数学观点进行，而成为与李群理论相平行的一个独立学科。

线性代数群理论的萌牙，可以追溯到19世纪末叶。当时L.毛瑞尔与(C.-)É.皮卡实际上已经研究了复数域上的线性代数群；皮卡把这些群用到线性微分方程的伽罗瓦理论中去。但是，在此后的半个世纪中，他们的这一工作并未引起人们的注意，而É.(-J.)嘉当与（C.H.）H.外尔在这期间对李群与李代数进行了深入的研究，所获成果促进了线性代数群理论的正式出现。20世纪40年代，C.谢瓦莱与段学复用李代数的方法，讨论了特征为零的任意域上的线性代数群，这是线性代数群理论诞生的前奏。1955年前后，线性代数群的一般理论终于由A.博雷尔与谢瓦莱等人提出来了。而后经博雷尔、R.施坦伯格和J.蒂茨等人的进一步发展，形成了一个较完美的数学体系，并对基础数学的许多领域诸如半单李群及其算术子群、典型群、有限单群、不变量理论等的发展起了重要的作用。

K的加法群Gα；K的乘法群Gm；K上所有n×n的非奇异矩阵在矩阵乘法上所成的群GL(n，K)，即所谓K上的n次一般线性群；GL(n，K)中由行列式为1的矩阵组成的子群SL(n，K)，即所谓K上的n次特殊线性群；GL(n，K)的其他闭子群等等都是线性代数群的例子，而且它们已具有相当的普遍性。任一线性代数群必同构于某个一般线性群的某个闭子群，这就是“线性代数群”这个术语的由来。以下均用G代表一个线性代数群。

把G嵌入为GL(n，K)的闭子群后，每个x∈G可以在GL(n，K)中进行若尔当分解:在GL(n，K)中有惟一的一对元素s与u，使得：

（1）s为半单元(即可对角化的元素)，u为幂幺元（即所有特征根都是1的元素）；

（2）su=x=us。可以证明s与u都在G中，而且G 的元素的这种分解与G到GL(n，K)的嵌入无关。于是，在G中就定义了半单元、幂幺元与若尔当分解的概念。

仅由半单元组成的连通、交换的线性代数群称为环面；仅由幂幺元素组成的线性代数群称为幂幺群。环面与幂幺群都是可解的，甚至是幂零的。更一般地说，任何连通可解线性代数群 B总可写成它的一个极大环面子群与它的极大幂幺子群的半直积，其中极大幂幺子群含有B的所有幂幺元，从而是正规的;当且仅当这个半直积是直积时，B是幂零群。

G的极大连通可解子群称为 G的博雷尔子群。G的所有博雷尔子群（对应地，极大环面子群、极大连通幂幺子群）都在G中共轭；如果G是连通的，那么G的任一元素(对应地，半单元、幂幺元)一定在某个博雷尔子群（对应地，极大环面子群、极大连通幂幺子群）中。此外，G的环面子群的正规化子对中心化子的指数是有限的。

G有惟一的最大正规连通可解子群R(G)，它称为G的根基；G还有惟一的最大正规连通幂幺子群Ru(G)，它称为G的幂幺根基。显然，Ru(G)由R(G)中所有幂幺元组成。

如果Ru(G)是平凡的，就称G为简约线性代数群；如果G是连通的，且R(G)是平凡的，就称G为半单线性代数群。例如，GL(n，K)是简约的，而SL(n，K)是半单的。因为对任意连通线性代数群来说，G/R(G)总是半单的，R(G)的结构又比较简单，所以线性代数群理论的中心问题之一，是半单群的结构与分类。为叙述这方面的结果，首先介绍G的李代数与根系，并在以下假定G是连通的。

设K[G]为簇G到K的正则函数组成的K代数，则G以两种方式自然地作用在K[G]上：对所有x、y∈G，ƒ∈K[G]，定义(λxƒ)(y)=ƒ(x-1y)，(ρxƒ)(y)=ƒ(yx)。这两种作用分别称为左平移与右平移。

K线性映射x:K[G]→K[G]如果满足

x(ƒg)=x(ƒ)g+ƒx(g)，

就称为K[G]的K导子;如果x还与所有的λx(x∈G)可换，就称x为K[G]的左不变K导子。如果x、Y都是左不变K导子，那么它们的任意K线性组合以及它们的换位子[x，Y]=x。Y-Y。x仍是左不变K导子。所以K[G]的左不变K导子全体组成K上的一个李代数g，它称为G的李代数。作为向量空间，g可以等同于G在恒等元处查里斯基切空间。

如果x∈g，x∈G，那么于是得到G在g上的伴随表示Ad:G→GL(g)。特别，把G嵌入为GL(n，K)的闭子群后，g是gL(n，K)（由K上所有n×n矩阵组成的李代数）的子代数。此时，G在g上的伴随作用就是矩阵的共轭。

固定G 的一个极大环面子群T，令H(T)为T到Gm的代数群同态全体，则H(T)是K[T]的单位元乘法群的子群。但是改用加法来记H(T)的群运算，并把它的元素称为T的特征标。设G是连通简约群，α是T的非零特征标，并且有非零向量x∈g，使得对所有t∈T都有Ad(t)x=α(t)x，则称α为G关于T的根。G关于T的根的全体φ =φ(G，T)满足抽象根系的所有公理，它称为G关于T的根系。它的外尔群同构于T的正规化子对中心化子(=T)的商群W =W(G，T)。由于从不同的极大环面得出的根系是同构的，有时就把φ 简称为G的根系，把W 简称为G的外尔群。

如果B是含T的博雪尔子群，那么W可以作为G关于(B，B)的双陪集分解的代表元系，即，且是不相交的并。G的这个双陪集分解称为布鲁哈特分解。特别，由W 中最长的元素w0所代表的双陪集Bw0B是G的稠密开集，称为G的大胞腔。

如果G是半单的，那么H(T)含在φ生成的欧氏空间中，而且是Ф的根格Hr与权格Hw之间的一个格。半单线性代数群的分类定理断言:K上的半单线性代数群的同构类与二元组(φ，H)的同构类一一对应，这里φ是一个抽象根系，H是Hr与Hw之间的任意一个格。更确切地说，给定这样一个二元组，必有惟一的(在同构意义下)K上的半单线性代数群G(φ，H)，使得G的根系同构于φ，在此同构下，G的极大环面的特征标群就是H。此外，若H1吇H2，则有典范的代数群满同态。因此，G(φ，Hw)覆盖了K上所有具有根系φ 的半单线性代数群，这个群称为普遍型的或单连通的；G(φ，Hr)被K上所有具有根系φ 的半单线性代数群覆盖，这个群称为伴随型的。

如果φ 是不可约根系，那么G(φ，H)称为殆单群。这是由于G(φ，H)的任一正规真子群都是有限的与中心的之故。特别，G(φ，Hr)是一个单群。由根系的分类定理知，殆单群有Al，Bl，Cl，Dl四个无限系列和E6，E7，E8，F4，G2五个例外类型。例如，SL(n，K)就是An-1型的单连通群。当φ可约时，φ的每一个不可约分支φi对应G＝G(φ，H)的一个殆单正规子群Gi，所有这些Gi的直积到G的典范同态是满的，它的核是有限的与中心的。这些Gi称为G的殆单分支。如果殆单群不是例外类型的群，就称为典型群。

当K=C是复数域时，G(φ，H)在普通复拓扑下是个具有根系φ 的复半单李群。所以线性代数群理论可以看作李群理论的一个推广。

线性代数群理论还与有限单群的理论有密切联系。设K是具有素特征p的域，Fq是q=pr个元素的有限域。如果K上的线性代数群G具有Fq结构，即K[G]可以写成一个Fq子代数Fq[G]与K的张量积，而且由G的乘积运算与求逆元运算导出的K代数同态与可以限制为Fq代数同态与Fq[G]→Fq[G]，那么，把Fq[G]的每个元素q次方得到的K代数同态K[G]→K[G]导出一个代数群同态F：G→G，它称为G的弗罗贝尼乌斯同态，其不动点GG是半单群时，GG 是单群时，除极少数例外，GSL(n，K)中的矩阵的每个元素q次方，便得到SL（n，K）的一个弗罗贝尼乌斯同态，其不动点子群为Fq上的n次特殊线性群SL(n，q)；同样的弗罗贝尼乌斯同态作用在An-1型伴随群pSL(n，K)上，得到的不动点子群便是李型单群pSL(n， q)。又如，由（T表示转置）定义的SL(n，K)的弗罗贝尼乌斯同态的不动点子群则是酉群SU(n，q2)。

参考书目

1. A.Borel，Lineαr Algebrαic Groups， Benjamin， New York， 1969. J.E.Humphreys，Lineαr Algebrαic Grαups，Grαduαte Text in Mathematics 21， Springer-Verlag， Berlin，1975.