关于流形介绍

[拼音]：liuxing

[外文]：manifold

一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部) 坐标系间的坐标变换都是连续的。这里所说在一点邻近建立坐标系就是：存在这个点的一个邻域U 和一个同胚映射φ:U→V，其中V是某个欧氏空间Rn中的开集。这样的φ可看成U上n个函数，它们就给出U 中点的坐标。在上面流形的定义中，若坐标变换皆是连续可微的，则进一步称空间为微分流形。流形的概念最早是由B.黎曼在1854年提出的。

下面是流形的例子。S2是通常三维欧氏空间中的单位球面，易见S2是连通、豪斯多夫、仿紧的拓扑空间。对S2上任意一点p，做过p点的切平面πp，在πp中建立笛卡儿坐标系。再从S2的球心做射线，当射线与S2和Πp同时相交时，记交点分别为q、悧。这时令S2中q点的坐标就是悧的笛卡儿坐标，这样就在p点邻近建立了局部坐标系。不难验证，用上述办法建立S2中各点邻近的局部坐标系，其坐标变换皆是可微的，从而S2是微分流形。仿照这里讨论可知实数集、初等曲线、圆周、环面、欧氏空间都是流形。

流形最重要的特性是：有局部坐标系。这个特性并不奇特，以至流形能广泛地出现在物理、几何问题之中。同时这个特性又使人们可系统地运用坐标方法，从而导致富有成效的研究。因此流形成为数学中一个重要概念是不会令人惊讶的。

有了局部坐标，可以确定微分流形之间的可微映射概念，那是指一个映射ƒ∶M→N，其中M和N是微分流形，使得当ƒ 用局部坐标表示时，它是坐标的连续可微函数组。如果ƒ有逆映射ƒ-1，并且ƒ-1也是连续可微的，则称ƒ是微分同胚。有一个特别的情形值得注意，当N是实数集时，称上述可微的ƒ为M上的可微函数。不难在M上的可微函数的集合中引进函数加法、乘法运算，于是可微函数集合就成了一个函数环。利用这个函数环可以派生出微分流形上的下列诸概念:切向量场(函数环的导算子)，李括号运算以及它们的对偶陈述（外微分式，外微分算子），此外还有定积分概念。借助于这些基本概念，就可以开展微分流形上的各种研究了。

对流形的研究还有一套组合方法，（J.-）H.庞加莱对这种方法的出现起了决定性作用。那是预先假定流形“剖分”成一些单形之和，使各单形之间是规则相处的。在这里单形是指:0维单形是一个点，1维单形是一条线段，2维单形是三角形，n维单形是具有n+1个顶点的广义三角形。从“剖分”出发，创造出链群和边缘算子概念，再用有限的代数算法导出同调群，进而开展研究（见同调论）。

关于流形的重要结果有:斯托克斯公式，示性类，德·拉姆同构，对偶定理。

考虑上面对流形研究的前提，自然要问，一个流形是否可以变成微分流形，是否可以剖分？也就是说，一个流形有没有微分结构、剖分（组合）结构的问题。当考虑一个流形上给定了两个微分结构，这便得到两个微分流形M1，M2。如果存在一个微分同胚ƒ:M1→M2，则称这两个微分结构是相同的。于是进一步又问：一个流形上的微分结构有多少个？类似地，组合结构又有多少个？对流形的深入研究集中在：流形上的微分结构，组合结构的存在性，惟一性问题，另外还研究这两种结构的关系，流形的各种意义下分类等问题。对流形的研究已做出许多令人振奋的结果，但也留下许多未解决的难题。

上述的流形是有限维无边的，类似地有有限维带边流形的概念。此外，在许多数学场合中出现无限维流形，不过对无限维流形的研究远不及有限维情形。