关于Ap权介绍

[拼音]：Ap quan

[外文]：Ap weight

保证某些算子在加权勒贝格空间Lp有界的权函数。设T是Lp(Rn)到Lp(Rn)的有界算子，即对任意ƒ ∈Lp(Rn)，有

式中C与ƒ无关， 积分中的dx为勒贝格测度。设ω(x)≥0是定义在Rn上的局部可积函数。问题是ω(x)满足什么样的条件，可保证算子T是Lp(Rn，ω(x)dx)到Lp(Rn，ω(x)dx)的有界算子，即对任意ƒ ∈Lp(Rn，ω(x)dx)，有

式中C与ƒ 无关。1972年B.穆肯霍普特提出了下面的Ap条件。所谓ω(x)满足Ap条件(1<p<∞)是指存在常数C，使不等式

(1)对Rn中所有的方块Q成立。这条件的意思是ω在Q的平均值与在Q 的平均值的p-1次幂的乘积是有界的。对p=1，所谓ω(x)满足A1条件，是指不等式

对Rn中的所有方块Q成立，式中C与Q无关。这意思是ω(x)在Q的平均值可以被ω(x)在Q的本性下界控制。这是等式(1)的极限情形。

最后，所谓ω(x)满足A∞条件，是指存在常数C与δ>0，使得对Rn中的任意方块Q以及Q中的任意勒贝格可测集E，有

，式中｜E｜表示 E的勒贝格测度。这条件的意思是指用ω(x)dx定义的测度，与勒贝格测度在某种意义下是可比较的。如果ω(x)满足Ap条件，就说ω(x)是一个Ap权。全体Ap权构成的函数集合也用Ap表示。1972年，穆肯霍普特首先证明了，若 T是哈代-李特尔伍德极大函数M，即

，则M(ƒ)是Lp(Rn，ω(x)dx)到Lp(Rn，ω(x)dx)的有界算子的充分必要条件是ω是Ap权(1<p<∞)。后来，R.A.亨特、穆肯霍普特、R.L.惠登、R.R.科伊夫曼与C.费弗曼等人证明了，一般的考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子是Lp(Rn，ω(x)dx)到Lp(Rn，ω(x)dx)，有界算子的充分必要条件也是ω为Ap权(1<p<∞)。

上述结果对p=1与p=∞并不成立，但A1、A∞在有关理论中也是两类十分重要的权函数。它们与Ap有密切的关系。粗略地说就是，A1是全体Ap的公共部分，而A∞是包含全体Ap的最小集合。用符号写出来就是

P.琼斯于 1980年证明了Ap权的分解定理。这就是，设1<p<∞， 则ω∈Ap的充分必要条件是，其中ω1，ω2∈A1。这就有可能把对Ap问题的讨论归结为A1。

Ap权与哈代-李特尔伍德极大函数，BMO空间等有密切联系。例如，设ƒ 是任意的局部可积函数，M(ƒ)是它的哈代－李特尔伍德极大函数，0<δ<1，则(M(ƒ))δ∈A1。又如，设b是Rn的局部可积函数，则b∈BMO的充分必要条件是存在ε>0，使得eεb∈A2。

Ap权具有一个很重要的性质，即它满足反向赫尔德不等式：若ω∈Ap，1≤p<∞，则存在δ>0与常数C，使得

对Rn中的所有方块Q成立。这一性质在近代偏微分方程理论中有重要的应用。

Ap权是近代调和分析的一个重要工具。

参考书目

1. B. Muckenhoupt， Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal function，(Trans.Amer.math.Soc.Vol.165，pp.207～226，1972.
2. R.R.Coifman and C.feferman， Weighted Norm Inequalities ƒor Maximal functions and Singular Integrals，Studia Math.，Vol.51，pp.241～250，1974.