关于模函数介绍

[拼音]：mohanshu

[外文]：modular function

定义在单位圆（或上半平面）内部且以其周界为自然边界的某种特殊解析函数。解析函数的许多经典理论如整函数理论中的皮卡定理、正规族理论中的一些判定定理，都可借助模函数的性质来证明。

如图1

，在z平面中取单位圆│z│<1，在其周界上按反时针向依次任取三点A，B，C，并作一圆弧三角形ABC，其每边均与│z│=1正交，构成一区域D0(图中斜线区)。在w平面中实轴上取定三点α(=0)，β(=1)，γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理，存在一单叶解析函数w =ƒ(z)，把D0映到w 的上半平面，并使A，B，C分别映到α，β，у。根据对称性原理，w =ƒ(z)可解析开拓到圆弧三角形Dó中，这里Dó是D0关于AB 弧的对称反演区域(C点反演成圆周│z│=1上另一点C┡)，而函数值则取在w 的下半平面，此下半平面与原上半平面沿线段αβ相粘连。同理，w=ƒ(z)又可分别解析开拓到D0的关于CA弧和BC弧的对称圆弧三角形中，其函数值也在w 的下半平面中，它们分别与上半平面沿半直线 γα 和 βγ 相粘连。这样，得到了│z│<1中的一圆弧六边形区域，w =ƒ(z)在其中解析，取值于整个w 平面中如上粘连的一个上半平面和三个下半平面。再以此六边形的各边进行反演，则w＝ƒ(z) 又可再次解析开拓到|z|< 1中边数更多的圆弧形区域中(仍在|z|<1内)，取值又回到w 的上半平面，并与上面已取得的下半平面分别沿αβ，βу，уα之一相粘连。如此无限继续下去，则w =ƒ(z)就开拓成为整个│z│< 1内的解析函数，其所取之值在w平面上形成一无限层的黎曼曲面。w =ƒ(z)称为模函数。其反函数z=φ(w)是整个w平面除0，1，∞外的多值解析函数，或者可说成是上述黎曼曲面上的单值解析函数。

模函数w =ƒ(z)单值解析于|z|<1内，显然不取值0，1，∞，且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时，不可能有确定的极限值，因此|z|=1是其自然边界，即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。

也可用一分式线性变换t=ω(z)，|z|<1，把z变到t平面的上半平面，使A，B，C 分别变成实轴的α，b以及с=∞，而D0变成区域墹 0（图2

），当D0关于其一边界圆弧作对称反演时，相应地墹 0也关于其相应边作对称反演。

设t=ω(z)的反函数为z=λ(t)，则

w =ƒ(z)=ƒ(λ(t))=φ(t)

就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也称为模函数，其性质本质上与ƒ(z)相类似。

如果把构成模函数w=ƒ(z)过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为T1，T2，…，则对于任何Tj，ƒ(z)与ƒ(Tjz)互为共轭。因此，对任何两个Tj，Tk，恒有ƒ(z)=ƒ(TjTkz)，即当z经过两次这类反演后，其函数值ƒ(z)不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素，它们生成一变换群G，则当z经G任一元变换后，函数值ƒ(z)不变。称G为模函数w=ƒ(z)的不变群，也称ƒ(z)为关于群G 的自守函数（见椭圆函数）。