关于初等几何变换介绍

[拼音]：chudeng jihe bianhuan

[外文]：elementary geometric transformation

将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。如果某种几何变换的全体组成一个“群”，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容（见埃尔朗根纲领）。例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容。几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景。几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用。

初等几何变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。

全等变换

如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A┡，B┡总有A┡B┡=AB。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。显然，在全等变换下两点之间的距离是不变量。由全等变换得到的图形与原图形相等。

在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换（真正全等变换），它把一个图形变成与它正常全等的图形，所谓正常全等图形是指两个全等图形上每两个对应三角形有同一方向（顺时针或逆时针方向），并且每两个对应的有向角有同一方向(图l之a)。

第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换），它把一个图形变成与它反常全等的图形，即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向(图1之b）。类似地，空间也有正常全等变换和反常全等变换。

全等变换存在逆变换、恒等变换。接连施行两次全等变换的积仍是全等变换，所以全等变换的全体组成"群"，叫做全等变换群，也叫做刚体变换群或运动群。平移、旋转、反射都是特殊的全等变换。

如果在平面内任意一点P变到 P┡时，使得有给定的方向，并且线段PP┡有给定的长度，这种平面到其自身的映射叫做平移变换。显然，平移变换下连接各对应点的线段互相平行且相等，各对应线段互相平行且相等。平移变换把一个图形变为与它正常全等的图形（图2）。

如果平面到其自身的一个映射，使得定点O保持不动，并且，对于任一点P 映射到P┡点，有OP=OP┡，∠POP┡=θ(0°≤θ≤180°)，且从射线 OP到OP┡的方向与给定方向相同，这个映射叫做绕中心O，按已知方向旋转θ的旋转变换。O点叫做旋转中心，θ叫做旋转角（图3）。

旋转变换下各对应直线所成的角不变，都等于其旋转角。一个图形经过旋转变换，得到与它正常全等的图形。

旋转角为180°的旋转变换叫做中心反射。（图4）中图形F和F┡是关于O点中心反射，O点叫做反射中心，此时，图形F和F┡正常全等。

如果在某个中心反射下，一个图形的像与它自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形或中心反射图形。如平行四边形是关于对角线中点对称的中心对称图形（图5之a）。圆（图5之b）、椭圆（图5之c）、双曲线（图5之d）都是中心对称图形。

空间旋转变换有绕轴的旋转，它是空间到其自身的映射，且满足下述条件：

（1）点P的像P┡与P同在与给定轴线S垂直的平面M内，②点P和P┡到轴线S的距离相等，即PP0=P┡P0。P0是平面M与轴线S的交点，③∠PP0P┡为定角θ（图6）。

这个映射叫做绕轴S旋转定角θ的空间旋转变换。由PP0到P┡P0的旋转方向规定为：如果θ>0就表示用右手握拳，拇指指向轴上正方向；如果θ<0，旋转与此反向。

空间旋转还有空间中心反射。每个点，对于中心O都有它的像与之对应。空间中心反射变换把一个图形变为与它反常全等的图形（图7 ）。

关于某定点的中心反射空间图形，常见的有平行六面体，它是关于对角线交点为反射中心的中心反射图形（图8）。

有直线反射变换和平面反射变换。

直线反射变换是从P点向直线g引垂线，垂足为O，延长PO到P┡，使OP┡=PO，把P┡点称为P点关于直线 g反射的像，直线g叫做反射轴(图9)。一个从平面到它自身的映射，如果把平面内的每一点映射到它关于直线g的反射的像，这个映射称为以直线g为反射轴的直线反射变换或直线对称变换。显然，反射轴是各对应点所连线段的中垂线，反射轴上任一点到各对应点的距离相等。

关于直线反射的两个图形，是互为反常全等的图形（图10）。

如果沿着一条直线把两个图形对折后能够互相重合，这两个图形叫做以这条直线为对称轴的互为对称的图形。如果一个图形被一条直线分成的两个部分关于此直线互为对称，此图形称为轴对称图形。如等腰三角形是关于底边上的高为对称轴的轴对称图形。矩形、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形。

对于空间图形，如果一个图形关于直线g反射变换到它自身，就说这个图形是关于轴g的空间反射图形。显然，一个图形绕这个轴旋转180°后，就与它自身重合。如果一个图形借助于某平面反射变换到它自身，这个图形叫做关于这个平面的反射对称图形。例如直圆柱是以所有含轴的平面为对称面的对称图形，球是以一切通过中心的平面为对称面的对称图形（图11）。

直线反射与平移、旋转有密切的联系，有如下的定理：在平面（空间）内，对于直线（平面）的两次反射的积，如果①两反射轴（平面）重合，则为恒等变换；

（2）两反射轴（平面）平行，则为平移变换；

（3）两反射轴（平面）相交，则为旋转变换。

平面内每个全等变换都可以看作是不多于三次直线反射的积，每个异于恒等变换的正常全等变换都可以看作是两次直线反射的积;任意给出两个反常全等图形，可以施行一次或接连施行三次反射，使此形变成彼形。

相似变换

平面（空间）到其自身的一个映射，如果对于任意两点A、B及其像A┡、B┡有A┡B┡=kAB(k>0)，把这个映射叫做平面（空间）的相似变换。当k=1时，相似变换就是全等变换。

平面内有两种相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似(正相似)的图形，即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向，每对对应角有同一方向（图12之a）。

镜像相似变换把一个图形变换成与它镜像相似的(负相似)图形。即使得两个相似图形的每对对应三角形有相反的方向，每对对应角有相反的方向（图12之b）。

类似地，空间真正相似变换，把一个空间图形变换成与它真正相似的图形，即使得两个空间相似图形的每两个对应四面体同向，对应三面角也同向。镜像相似变换，把一个空间图形变换成与它镜像相似的图形，即使得两个空间相似图形的对应四面体反向，对应三面角也反向。

相似变换保持两直线所成角的大小不变，并且不改变图形的形状而改变其大小，两个相似的平面图形，其面积之比等于它们的相似比的平方；两个相似的空间图形，其体积之比等于它们的相似比的立方。

平面（空间）的全体相似变换组成一个群，称为相似变换群。

相似变换的特殊情形是位似变换。

对于平面到其自身的一个映射，如果存在定点S及常数k(k≠0)。使得对于任意点M及其像M┡，满足：

（1）S，M，M┡三点共线；

（2）SM┡=│k│SM，则这种映射称为以S为位似中心，k为位似比的位似变换。当k>0时，对应的两点在位似中心的同侧，称为顺位似（图13之a），S称为外位似中心；当k<0 时，对应的两点在位似中心的异侧，称为逆位似（图13之b），S称为内位似中心，当丨k丨>1。原图形被放大；当丨k丨<1，原图形被缩小。特别地，当k=-1的位似变换，可看作是以S为中心，旋转角为180°的旋转变换。

在位似变换下，任何一条直线变为与它平行的直线(图14)，直线AB经位似变换得到A┡B┡，则A┡B┡∥AB。

任意两个不等的圆，都可看作是位似图形，两圆心是对应点。如图15

，圆O的半径为R，圆O┡的半径为r。S 和S┡分别以定比R/r外、内分线段OO┡。圆O 和圆O┡分别关于S 和S┡位似，它们的位似比为R/r。

类似地，任意两个不等的球也可以看作是位似图形，并且有两种方法使它们位似。

反演变换

在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对任一异于O点的P点，将其变换成该射线OP上一点P┡，且使OP┡·OP=R2，这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆，圆心O 叫做反演中心或反演极，R 叫做反演半径或反演幂（图16）。

从定义可知，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点，位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。

空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之也成立。

反演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。