关于力学系统平衡的稳定性介绍

[拼音]：lixue xitong ping heng de wendingxing

[外文]：stability of a mechanical system in the equilibrium state

处于平衡位置的某一力学系统，在受到外力系的微小扰动后，仍能继续处于平衡位置的性质。

当一个力学系统（或机械系统）受外力系的作用而处于平衡时，受到外界的微小扰动后，系统是趋向于回复到平衡位置，则平衡是稳定的；系统越来越远离平衡位置，则是不稳定。这就是力学系统的平衡稳定性问题。例如小d子在铅垂平面内的圆形轮圈内有两个平衡位置（图1），即有两个力学平衡系统。最高点A处是小d子的不稳定位置；最低点B处是小d子的稳定位置。圆锥体放在水平面上（图2）， 有三种平衡情况：稳平衡、不稳平衡和中立平衡（或随遇平衡）。中立平衡的系统在运动过程中重心既不升高也不降低。1644年E.托里拆利已经发现，一个物体系统当其重心处于最低位置时，这系统是稳定的。平衡的稳定性可以看成运动稳定性的特例。

考虑n个自由度的完整系统(见约束)，它的位置由n个广义坐标(q1，q2，…，qn)来确定。一个力学系统有几个平衡位置，可进行坐标变换，使这个所要讨论的平衡位置就是坐标系的原点，于是对这平衡位置有：

，

而坐标q1，…，qn就是表示离开这位置的偏差。平衡位置的广义力为零，即Q1=Q1=…=Qn=0。

若在时间t=t0有一扰动，使系统位形产生偏差及。如果对于任何ε>0可找出δ=δ(t)>0，使成立，那么对于一切 t>t0有不等式，则称这系统在这位置是稳定的，否则称为不稳定。1788年J.L.拉格朗日发表下列定理：如果一个保守系统的势能在某个平衡位置是个孤立的极小值，那么这系统在这平衡位置是稳定的(这个定理后来被P.G.L.狄利克雷所证明)。1892年Α.М.里雅普诺夫得到上述定理的一部分逆定理。若保守完整系统的势能在某平衡位置上是个极大值，则这平衡不稳定。H.Γ.切塔耶夫把上述定理加以扩充为: 若保守系统的势能在某平衡位置无极小值，则在这位置的平衡是不稳定的。对于非保守系统，如果这系统是在一个保守系统的基础上再附加一个回转仪力而成的，那么上述拉格朗日定理依旧成立，因为回转仪力对系统不做功。若附加了耗散力，则使系统的机械能不断减少，于是这系统的哈密顿函数H对时间的变化率夑不为正。对于 夑为负定函数，而H为正定的情况，拉格朗日定理依旧成立。

工程上的所有结构都不是绝对刚体，因而要考虑强度和刚度问题就必须要研究应力和应变。对于有特殊结构和尺寸的构件，当受力大到某临界值时，便发生失稳现象，产生较大的有限变形，结构会受到严重破坏并造成事故，例如：

（1）受压杆件。对于杆件受拉力和长度较短的受压杆件，除非达到强度极限的破坏现象，否则系统总是稳定的。但是，对于细长杆的两端受到轴向压力时，当压力超过临界力时便发生失稳现象──杆弯成挠曲状。对于像静定桁架那样的结构，如果存在着这样的压杆，就像少了一根杆，以致结构变成几何可变系统而损坏。所以这问题对建筑结构和铁路桥梁的设计是很重要的。

（2）受外压的薄壁容器。化工厂中内压较大的薄壁容器的损坏一般是强度不够的问题。但是，对于外压大于内压的薄壁容器，当它的压力差超过临界压力时，便会发生失稳。如薄壁圆筒在筒长和筒径的比例不当时，筒壁就有可能发生各种不同形式的凹陷而造成破坏。

参考书目

1. Leonard Meirovitch， Methods of Analytical Dynamics，McGraw-Hill， New York， 1970.