什么是最小实现?

[拼音]：zuixiao shixian

[外文]：minimal realization

在具有指定传递函数矩阵的线性定常系统中维数最低的一类系统（见传递函数）。对于给定的传递函数矩阵G(s),如果可找到一个定常线性系统(A，B，C)(见线性系统理论)，其传递函数矩阵C(sI-A)-1B等同于G(s),则称这个系统(A，B，C)为G(s)的一个实现。实现的含义是找到一个能表现指定的输入输出关系的系统。对于同一个G(s)可以有无限多个不同的实现，其中维数最低的实现就是最小实现。从物理意义上说，最小实现就是包含动态部件最少、构造最简单的实现。关于最小实现问题，已有很多重要研究结果：

（1）如果定常线性系统(A，B，C)是某个给定传递函数矩阵 G(s)的最小实现,则系统(A，B，C)必定是既能控又能观测的（见能控性和能观测性）；反之，一个既能控又能观测的实现也必定是最小实现。

（2）如果G(s)是单输入单输出系统的传递函数，(A，B，C)是它的一个实现，则系统(A，B，C)为G(s)的最小实现的充分必要条件是传递函数C(sI-A)-1B的分子与分母无公因式,即不出现零、极点〔分别使 C(sI-A)-1B的分子、分母为零的s值〕相消的情况。

（3）如果(A，B，C)和(妺,峫,叿)都是同一个G(s)的最小实现,那么(A，B，C)和(妺,峫,叿)必定是等价的，即有一个非奇异方阵P，使

妺＝P-1AP， 峫＝P-1B， 叿＝CP

从基本性质出发，已经建立起寻求最小实现的一些具体方法。这些方法的主要思路是：对于给定传递函数矩阵G(s)，先找出它具有某种典型形式的一个实现（这一步通常比较容易）;然后再通过比较复杂的计算,从这个实现中分离出既能控又能观测的子系统，它就是G(s)的一个最小实现。

在工程实际中可以用最小实现方法设计出既具有指定的输入输出特性而且结构也最简单的定常线性系统。在系统辨识方面，可以根据被辨识系统的外部观测数据，用最小实现方法设计出最简单的装置或计算机程序去模拟规定的动态特性。

参考书目

T.E.佛特曼、K.L.海兹著，吕林等译：《线性控制系统引论》,机械工业出版社,北京，1980。(T.E. Fortman and K.L.Hitz,An Introduction to Linear Control Systems, Marcel Dekker Inc., New York, 1977.)T,凯拉斯著,李清泉等译：《线性系统》,科学出版社，北京，1985。(T.Kailath，Linear Systems, Prentice-Hall Inc.,Engle-wood Cliffs, N.J.,1980.)