选择公理是什么?

[拼音]：xuanze gongli

[外文]：axiom of choice

集合论中的一条公理。它肯定对任何由非空集合组成的非空集合S，存在函数ƒ:S→∪S使对每个x∈S有f(x)∈x，f称作S的选择函数。容易推知，当S的元素互不相交时，f[S]就是 S的代表集。由ZF公理（见集合论）加上选择公理组成的系统记作ZFC。

由于在一个有穷长的证明中不能容纳无穷多次选择，因而需要有一种方法能 “一下子” 作完无穷多次选择。而ZF系统并不能保证这种方法常有，所以需要有选择公理。1904年，德国数学家E.策尔梅洛在证明良序定理时第一次明确地提出了选择公理。从此，学术界就开始了对选择公理的探讨和争论，特别是在A.N.怀特海和B.A.W.罗素的工作表明全部数学都可在 ZFC中叙述之后，这种探讨就显得尤有意义。

选择公理在大多数数学分支中都有着极为重要的作用，强完全性定理和紧致性定理的证明都离不开它，也正是根据该公理，人们才知道G.F.P.康托尔和R.戴德金德对无穷所下的两种定义是等价的，并由此得以建立各种简便易行的基数运算法则。如果没有选择公理就无法证明连续函数的两种定义等价，也无法保证每个向量空间都有基，就连“可数个可数集的并集仍然可数”这样一个看上去颇为自然的命题也无法证明，良序定理和左恩引理是数学中的得力工具，它们也都与选择公理等价。不过，选择公理也有反常的一面。1905年，G.维塔利使用这一公理构造了一个非勒贝格可测的实数集，这好象是顺理成章的。然而此后的20年中，德国的F.豪斯多夫、S.巴纳赫和A.塔尔斯基应用类似于维塔利的方法陆续证明了一项大出意外的结果，即分球悖论。这就是利用选择公理，可以把一个球切成有穷多块，再把这些块重新组合起来就得到两个和原先的球大小相同的球。选择公理就是这样一个既自然又很不自然的命题，它的真实性问题至今尚未解决。不过它的相对一致性和独立性研究都已取得圆满成果。这些成果是：1938年，由K.哥德尔证明了如果ZF一致则 ZF+AC一致；1963年，P.J.科恩则证明如果 ZF一致则ZF+塡AC也一致。柯恩还证明了“对可数个非空实数集组成的族，选择函数存在”这一命题独立于ZF。为了避开诸如分球悖论这样的怪事，集合论研究者还探讨了不少选择公理的弱形式，而且根据柯恩的研究结果，这些弱形式也都独立于ZF。

60年代以来，集合论研究者深入探讨了一些与选择公理对立的假设。其中最引人注意的是决定性公理，简称AD。该公理指自然数上具有完全信息的长度为ω的二人无穷零和对策有必胜策略。按照决定性公理，可以推出原来意义上的连续统假设，还可以推出实数是不可良序的以及每个实数集都是勒贝格可测的等等。进一步加强决定性公理，例如将对策的长度变为ω1，或将自然数博弈改为实数集的幂集上的博弈，都会与ZF不一致。但该公理的某些弱形式又是在ZF或 ZFC中可证的。关于决定性公理的相对一致性研究一直没有什么结果，因此集合论研究者普遍认为决定性公理不及选择公理可靠，而只把它当作一种工作假设。