关于数学物理方程介绍

[拼音]：shuxue wuli fangcheng

[外文]：equation of mathematical physics

主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括和此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程。

在力学中，由牛顿的引力理论产生了引力势的概念，它满足拉普拉斯方程或泊松方程。在连续介质力学中，从质量、动量、能量守恒原理出发，导出了流体力学中的纳维－斯托克斯方程组（有粘性）和欧拉方程组（无粘性），d性力学中的圣维南方程组等。在物理学中波的传播由波动方程描述，传热和扩散的现象则归结为热传导方程。这些都是古典的数学物理方程。值得注意的是，往往同一个偏微分方程可以描述许多种性质上很不相同的物理现象。

随着物理学的发展，从19世纪到现在，又出现许多数学物理方程，其中最基本的有刻画电磁场变化的麦克斯韦方程，描述微观粒子的薛定锷方程和狄喇克方程，广义相对论中确定引力场的爱因斯坦方程和在基本粒子研究中有重大作用的杨-米尔斯方程等等。

对光辐射、中子迁移以及气体分子运动的研究，归结出了辐射迁移方程、中子迁移方程和玻耳兹曼方程，它们都是微分积分方程。

物理现象有时是很复杂的，例如考虑带电流体在磁场中运动时，就有电磁流体力学方程组，它是麦克斯韦方程和流体力学方程的耦合，又如化学反应和扩散相耦合，就有反应扩散方程等等。

对于数学物理方程，需要作出各种典型问题的解，通过和实验与观察到的结果对照来检验相应的物理理论。求解数学物理方程，会使人们对相应的自然现象有更深的认识，并能预见新的现象，在工程设计中，它能向人们提供必要的数据，使工程建设有坚实可靠的基础。

偏微分方程一般理论的发展，在很大程度上反映了求解数学物理方程的需要，同时也是研究数学物理方程的强大理论后盾。数学物理方程有许多是线性方程，已经有很多求准确解的方法，如分离变量法，积分变换法，复变函数等等；解有时能用各种初等函数和超越的特殊函数来表达。但这些只限于比较典型的情况。更多的数学物理方程是非线性方程或方程组，其求解方法更为复杂，只有少数问题有准确解。获取准确解的有效方法之一是利用问题的对称性，例如球对称性、轴对称性和相似性(量纲分析)等等来求解，它可以减少自变数，如通过常微分方程来求出特解。在未能获得准确解的情况下可以用摄动方法求出近似解，它往往先找出与问题有关的小参数，然后求出解关于这小参数的展开式到一定的次幂作为解的渐近表达式。由于电子计算机的发展，许多问题要依靠电子计算机来作出数值解，这是最有效的办法。联系于孤立子，杨－米尔斯方程的研究正在发展着求解非线性方程的新方法。

随着物理学的进步，必将出现更多的数学物理方程，而且其应用范围也会远远超过传统的力学、天文学、物理学等领域，例如化学、生命科学、社会科学等等已在不同程度上应用数学物理方程来解决所遇到的问题。