关于特征线法介绍

[拼音]：tezhengxianfa

[外文]：method of characteristics

一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的近似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地为人们所使用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，并在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的应用。

考虑两个自变量的一阶拟线性方程组

(1)

式中U、F为n维向量，A为n×n阶矩阵。如果矩阵A有n个实的特征值，且有n个线性无关的左特征向量，即存在可逆矩阵

和实对角矩阵

使

则称方程组(1)为双曲型的，其中λi(i=1，2，…，n)为矩阵A的特征值。此时(1)可改写成

(2)

如果用uj、ƒj表示U、F的元素，那么(2)可改写成

(3)

引入方向τj：，于是有

。

可见，(3)的第i个方程中只包含函数u1，u2，…，un在方向τj上的方向导数。因此，它是由方程

(4)

所确定的曲线上的函数值之间的一个关系式。也就是说，(4)所确定的曲线上的函数值是不能任意给定的，必须满足方程(3)中的第i个方程。通常称该曲线为第 i族特征线，而称(3)中的第i个方程为第i族特征线上的相容关系。利用特征线 (4)上的相容关系(3)来求方程(1)的解的方法叫特征线法。

下面以n＝2情况为例来说明此种方法。设在两个邻近的点Q1和Q2上已知函数值相应为(u嶛，u嶜)和(u嶡，u

)，并设过Q1的第一族特征线与过Q2的第二族特征线相交于Q3（图1

）。此时，可用如下的方法来近似地求出点Q3的位置和其上的函数值。

第一族特征线的方程是，故点Q1的坐标(x(1)，t(1))和点Q3的坐标(x(3)，t(3))之间有如下的近似关系：

(5)

和上面一样，上标(j)表示它是点Qj上该量的值。类似地，在点Q2的坐标(x(2)，t(2))和Q3的坐标(x(3)，t(3))之间有如下的近似关系：

(6)

从方程(5)和(6)可解得点Q3的坐标的近似值。

另外，根据(3)在第一族特征线上函数值之间有关系

点Q1和Q3处的函数值之间近似地有如下的关系式：

类似地，在第二族特征线上有关系式

从方程(7)与(8)可解得点Q3上的函数的近似值。

如果在一条处处不与特征线相切的“空向”曲线段AB上给定初值，那么用上面所叙的方法可以求出由过点A的第一族特征线和过点B的第二族特征线所围的区域内各点上的值（图2

）。

如果(5)和(7)中的系数和右端项改成Q1和Q3上相应量的平均值，把(6)和(8)中的系数和右端项改成Q2和Q3上相应量的平均值，那么可以把计算结果从一阶精度提高到二阶精度。

上面叙述的特征线法是用特征线作网格的，其特点是物理图像比较清楚，但网格显得不大规则。也可以用x-t平面上的规则网格，相应的方法称为特征-差分方法，其特点是采用矩形网格，但不像通常的有限差分方法那样直接利用方程 (1)而是利用特征线上的相容关系来确定各网点上的函数值。

特征线法已被推广到多维的情形。对三维情形，已提出的方法有四面体特征法、五面体特征法、参考面特征法等。