关于高次代数方程求根介绍

[拼音]：gaoci daishu fangcheng qiugen

[外文]：finding roots of polynomial equation

左边为多项式的方程

，

称为n次代数方程，又称多项式方程，其中n=1，2，…；αk是实系数或复系数，α0≠0。当n>1时，它叫做高次代数方程，其次数就是n。多项式的零点就是对应代数方程的根。

代数基本定理说，复系数代数方程在复数域至少有一个根。如果x1是一个根，则Pn(x)一定可被(x-x1)所除尽，其商为(n-1)次多项式。如果n>1，其商至少又有一个根x2，它也是原来方程的一个根。因此n次代数方程总是有n个根x1，x2，…，xn，其中可能有相同的根，叫做重根。

二次方程可以用公式求根，公式内包含某数的平方根；标准三次方程也可以用公式求根，公式内包含三次根；标准四次方程的对应多项式可以分解成两个二次式的乘积，其系数在求出对应三次方程的一个根后也可用公式求出；五次及五次以上的代数方程一般不能用根式求解。

将超越方程ƒ(x)=0左端换成多项式Pn(x)，超越方程就变成高次代数方程。因此超越方程求根的各种方法，例如割线法、牛顿法均可用于求高次代数方程的根（见超越方程数值解法）。下面是利用多项式性质的三种求根方法。

劈因子法

用x的二次式

除Pn(x)则得商Q(x)及余式

r(x)=r1(x)+r2，

因而有

Pn(x)=U(x)Q(x)+r(x)。 (1)

设U(x)是一个近似二次因式，问题是怎样修改u1和u2使对应的余式更接近于零。为此，作线性近似，取则修正量du1、du2应满足方程组

进一步可写为

(2)

利用已知关系可求出代入(2)后，就能求出u1和u2的校正量du1和du2。而u1+du1、u2+du2就是更好的二次因式的两个系数。

伯努利法

设E是使数列Fk的下标增加1的运算子，即

EFk=Fk+1，

则齐次常系数线性差分方程

的特征方程就是代数方程Pn(x)=0，这个代数方程的根x1，x2，…，xn叫做差分方程的特征根。

给定 (F0，F1，…，Fn-1)的定值例如(0， 0，…，1)即可依次从(3)算出Fn，Fn+1，…。这样就定出差分方程的一个特解。

如果特征根各不相同，则差分方程的一般解是

设，且с1≠0，则当k→∞时，特解Fk的主要项是第一项，即

，

这就是求最大实根x1的伯努利法。

设方程的最大根是一对共轭复根：

计算

可以证明：

，

由此可得最大共轭复根对应的近似二次因式：

。

劳思表格法

设给定代数方程 Pn(x)=0的系数都是实数，其中α0=1。劳思表格的计算方法如下：

其他行的数的计算公式为

利用劳思表格可以对根的位置作出判断。如果劳思表格上最左列自上而下 n+1个数均为正数，则虚轴上及右半复平面上都没有根；否则虚轴上或右半复平面上有根。设最左列系数都不等于零，则可以证明在虚轴上没有根，在右半平面上根的个数等于在左列系数的变号次数。利用劳思表格还可以求出最大实部根的实部。设用 Pn(x)的系数作出的劳思表格不满足最左列系数都为正的条件，则知在右半闭复平面上有根。把复平面的原点平移到新原点(α，0)，求出Pn(x)在α点的展开式系数，利用新系数构造在α点的劳思表格。选α充分大，则在新原点的右半平面没有根，最大实部根的实部必在区间(0，α)内。构造在α/2点的劳思表格，如果在右半平面有根，则最大实部根的实部在区间 (α/2，α)内，否则在区间(0， α/2)内。在有最大实部根的区间用中点继续分割及判断，则可得到最大实部根的实部的充分好的近似值。如果最大实部根是一个实根，所得值就是这个实根的近似值，否则它是有最大实部的一对或几对共轭复根的实部的近似值，而共轭复根的虚部可以从最后点的劳思表格内求出。

设Pn(x)的劳思表格判明在右半平面上没有根，则在负实轴上选新原点-α 。选α充分大， 则在新原点的右半平面上有根，最大实部根的实部在(-α，0)区间内。用中点分割法可以求出最大实部根。

在高次代数方程求根的过程中，往往会遇到病态多项式，它的系数的微小变化会引起零点的很大变化。因此，在电子计算机上编制通用求根程序时，计算机运算必须按高精度进行，即至少用双倍精度进行。

若已求出多项式 Pn(x)的一个实零点或一对共轭复零点，就可以用综合除法将原多项式化成一低次的多项式，这样可以依次求出Pn(x)的n个零点。但是，降阶运算带来了误差积累。如果求根次序按模从大到小进行，则降阶过程中引入的误差对后面一些小根精度的影响可能是严重的；但如果按从小到大的次序进行，即使对于病态多项式，一般也不会影响后面求的根的精度。

参考书目

1. 清华大学、北京大学《计算方法》编写组编：《计算方法》，上册，科学出版社，北京，1974。