关于微分拓扑学介绍

[拼音]：weifen tuopuxue

[外文]：differential topology

研究微分流形和可微映射的一个数学分支。微分流形除了是拓扑流形外，还有一个微分结构。因此，对于从一个微分流形到另一个微分流形的映射，不仅可以谈论它是否为连续，还可以谈论它是否可微分。微分拓扑的奠基人是H.惠特尼，它研究的主要课题有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、协边理论等。

微分流形M和N叫做是微分同胚的，如果存在M和N之间的一一对应ƒ:M→N，使得ƒ和它的逆映射ƒ -1：N→M都是可微映射。在微分拓扑中，彼此微分同胚的流形被看作是等价的。把等价的微分流形看作属于同一类。对微分流形进行分类是微分拓扑最基本的问题。

如果ƒ和ƒ -1仅仅是连续的，不一定可微，则M和N叫做是同胚的（亦即拓扑上等价的）。同胚的微分流形未必微分同胚。例如，用S7表示七维球面，即八维欧氏空间R8中所有单位向量构成的流形，则S7可被赋以不同的微分结构，使所得的微分流形是不微分同胚的。已经算出，与S7同胚的微分流形，按微分同胚来分类， 一共有28类，当n≥5时， 与Sn同胚的微分流形的等价类的数目，已被证明是有限的，且对5≤n≤18，类数均已被算出（见表

）。

以Rm表示m 维欧氏空间。当m≠4时，不论以何种方式给Rm 赋以微分结构，所得的微分流形总是微分同胚的。有一个很有意思的事实是，对R4可赋以不同的微分结构，使所得的微分流形是不微分同胚的。

当n=1、2、3时，任意n维拓扑流形上必可赋以微分结构，且由同一拓扑流形赋以不同的微分结构所得的微分流形必微分同胚。因此，对一、二、三维流形，按微分同胚来分类和按同胚来分类是一样的。

一维流形的分类很简单。它们必同胚于开区间(0，1)，闭区间［0，1］，半开半闭区间［0，1)和圆周S1中的一个，且这四个流形必不同胚。二维紧致无边流形的分类早已被解决（见闭曲面的分类）。而三维紧致无边流形的分类问题是很困难的，尚未解决。

设ƒ:M→N是一个可微映射，dƒ:T(M)→T(N)是它的微分（见微分流形）， 如果对任意尣∈T(M)，尣≠0，有dƒ(尣)≠0，则称ƒ为微分浸入。两个微分浸入ƒ和g叫做是正则同伦的，如果存在连续映射H:M×[0，1]→N，使得H0(x)=ƒ(x)，H1(x)=g(x)，对任意t∈[0，1]，Ht(x)是微分浸入，且由dHt(尣)所定义的映射

是连续的。

关于微分浸入的存在性方面的一个经典结果是：n>1时，任意n维微分流形可以微分浸入于2n－1维欧氏空间中。这一结果后来被推广成：设M是任意n维微分流形，N是任意2n－1维微分流形，ƒ:M→N是任意连续映射，则ƒ必同伦于某一微分浸入。

关于微分浸入按正则同伦的分类方面的一个经典结果是：设ƒ：S1→R2是圆周到平面的一个微分浸入，记ƒ(eiθ)处单位切向量为

，则定义了一个S1到 S1的映射。当θ从0增加到2π时，的角度连续地变化了2π的一个整数倍。记这一倍数为nƒ（见图

），则ƒ→nƒ决定了S1到R2的微分浸入的正则同伦类到全体整数的集合的一一对应。也就是说，两个微分浸入ƒ和g正则同伦当且仅当nƒ=ng，且对任意整数n，必有微分浸入ƒ，使n=nƒ。这一结果的一个推广是：Sk到Rn（n>k）的微分浸入的正则同伦类与πk(Vn，k)一一对应，这里Vn，k是Rn中所有k个线性无关向量组构成的空间，πk表示第k个同伦群。

微分浸入的存在和分类问题已完全被化成了同伦论的问题。但由于相应的同伦论问题的困难，具体结果仍然不多。

n维微分流形Mn到R的微分浸入的分类问题已完全解决。对任意连续映射，同伦于ƒ的微分浸入的分类问题也已基本上解决。

设ƒ:M→N是微分映射，如果ƒ(M)是N的微分子流形，并且ƒ:M→ƒ(M)是微分同胚，则称ƒ为微分嵌入。微分嵌入一定是微分浸入。两个微分嵌入叫做是正则同痕的，如果存在连接它们的正则同伦Ht，使对每一固定的t∈[0，1]，Ht是微分嵌入。

关于微分嵌入的一个经典结果是:任意n维微分流形可微分嵌入于2n维欧氏空间中。n≠1，4时，已证明任意n维可定向的紧致无边微分流形可微分嵌入于R中，n=4时，可微分嵌入的充分必要条件已发现。

关于S1在R3中的微分嵌入按正则同痕分类的问题是很复杂的，已成为一个独立的研究分支，称为纽结理论，它密切地关联于三维流形的同胚分类问题。

与S1在R3中的微分嵌入有无穷多个正则同痕类相反，吴文俊证明了：若n>1，则任意n维微分流形在R中的任意两个微分嵌入都是正则同痕的。

当n>3(k+1)/2时，k维微分流形到n维微分流形的微分嵌入的存在和正则同痕分类的问题已被化成同伦论问题，且已证明当k和n满足上述关系时，Sk在Rn中的任意两个微分嵌入都是正则同痕的，但S在R中的微分嵌入的正则同痕类却与整数全体一一对应。

两个n维的紧致无边微分流形M和N叫做是协边的，如果存在一个n+1维的紧致微分流形W，W的边界恰由M和N 组成。把两个协边的微分流形看成属于同一协边类，则按协边关系来分类紧致无边微分流形比按微分同胚来分类它们要粗略，因为任意两个微分同胚的紧致无边微分流形必是协边的。与按微分同胚的精细分类问题至今未能解决形成鲜明对照的是，按协边关系的粗略分类问题虽非容易，但却已彻底解决。二维(或三维)的可定向紧致无边微分流形都是协边的，虽然未必微分同胚。实投影平面与二维球面是不协边的。

上述协边理论有很多推广，如可定向流形的协边论，映射的协边论，稳定切丛有复结构的流形的协边论，稳定切丛有标架的流形的协边论等等。其中标架协边论与球的同伦群的研究有着互逆的关系，仍是拓扑学中重要的难题。

微分拓扑虽是不同于代数拓扑的一个独立的数学分支，但它与代数拓扑的关系极为密切。解决微分拓扑问题的许多基本工具，例如同调群、同伦群、拓扑K-理论以及多种示性类等代数不变量都是从代数拓扑中借用过来的。

基于莫尔斯函数的临界点理论的流形剜补术则是首先对微分流形发展起来的，然后被推广至拓扑流形的情形。拓扑流形的剜补术在解决四维庞加莱猜想时发挥了作用。可见两者互相渗透、互相促进。

参考书目

1. J.W.米尔诺著，熊金城译：《从微分观点看拓扑》，上海科学技术出版社，上海，1983。(J.W.Milnor，Topology from the Differentiable Vieωpoint， Univ. of Virginia Press， Charlottesville， 1965.)