关于泊松过程介绍

[拼音]：Posong guocheng

[外文]：Poisson process

一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t)，t≥0}叫做泊松过程。

（1）P(X(0)=0)=1。

（2）不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1<t2<…<tn，X(t1)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互独立。

（3）增量X(t)-X(s) (t>s)的概率分布为泊松分布，即，式中Λ(t)为非降非负函数。若X还满足④X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时Λ(t)=λt，式中常数λ>0称为过程的强度，因为EX(t)=Λ(t)=λt，λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段[0，t)内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程｛X(t)，t≥0｝，往往也可以用它依次发生跳跃(即发生随机事件)的时刻{Tn，n≥1}来规定，即取T0=0，Tn＝inf{t:X(t)≥n}，n≥1，而当Tn<t≤Tn+1时，X（t）＝n。若以，表示X(t)发生相邻两次跳跃的时间间距，则计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为{τn，n≥1}是相互独立同分布的，且，其中λ为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是:固定t，X(t)是参数为λt的泊松分布随机变量，而当X(t)=k已知的条件下，X的k个跳跃时刻与 k个在［0，t)上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看，齐次泊松过程X是使{X(t)-λt，t≥0}为鞅的跃度为1的计数过程。

较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在[0，t)时段内故障的累计次数N(t)是泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同，用随机变量Yi表示第i次耗损，则在[0，t)内总的耗损为。当{N(t)，t≥0}为齐次泊松过程，{Yi，i≥1}又是相互独立同分布且与｛N(t)｝独立时，X=｛X(t)，t≥0｝称为复合泊松过程。由于{N(t)，t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti，i≥1}来规定，因而复合泊松过程可用{(TnYn)，n≥1}来规定，即。若对{(Tn，Yn)，n≥1}的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。

泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是众多重要随机过程的特例。独立增量过程的莱维－伊藤分解表明，利用它还可构成一般的独立增量过程，因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。

参考书目

1. E. Parzen，Stochastic Processes，Holden-Day，lnc.， San Francisco， Calif.， 1962.
2. D.L.斯奈德著，梁之舜、邓永录译:《随机点过程》，人民教育出版社，北京，1982。(D.L.Snyder，Random Point Processes，John Wiley & Sons，New York，1975.)
3. 伊藤清著，刘璋温译：《随机过程》，上海科学技术出版社，上海，1962。（伊藤清著：《確率?波書店，東京，1958。）