关于伽罗瓦理论介绍

[拼音]：Jialuowa lilun

[外文]：Galois theory

用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在20世纪以前，解方程一直是代数的一个中心问题。大概在三千年以前，人们就基本上得到了现在教本中给出的二次方程的解的公式。在当时的文献中，由于没有恰当的符号系统以及不能正确理解负数与复数的性质，不可能给出这样统一的、一般的公式：αx2＋bx＋с＝0 的解 x＝。

至于三、四次方程的解法比二次方程的解法要晚得多。 直到1500年左右， 波仑亚的数学教授S.dal费罗(1456～1526)解出了x3+mx＝n类型的三次方程，但没有发表。后来N.塔尔塔利亚(他由于口吃，被称为tartaglia)在1535年表示他早已解出了x3+mx2=n类型的方程，并同时解出了A.M.菲奥尔向他提出的30个三次方程，其中包括x3+mx=n这种类型。他的方法被G.卡尔达诺发表在他自己的著作中。在三次方程解出之后，G.卡尔达诺的学生L.费拉里几乎立即解出了四次方程。所谓解出三、四次方程，是指如同二次方程的求根公式一样，它们的根可以从方程的系数经过四则运算与开根(平方根或立方根)得到，或者说，给出了解的公式。实际上三次方程的解法是把它归结为相继解一个二次方程与一个二项的三次方程x3=A；四次方程是归结为相继解一个三次方程与一个二次方程。由于这些方程的解的公式中只出现四则运算与根号，于是就说二、三、四次方程都是可以用根式解的。

从此之后，数学家就转向求解四次以上的方程。差不多经过二百多年的时间，有不少著名数学家，如L.欧拉、A.-T.范德蒙德、J.-L.拉格朗日和P.鲁菲尼等，都作了很大的努力，没有取得重要的进展。在代数地求解一般的n次方程的问题上，C.F.高斯对于二项方程xp-1=0（其中p是素数）的研究具有重要意义。C.F.高斯证明了这个方程的根可用一系列方程ƒ1＝0，ƒ2＝0，…的根有理地表示出来，其中每个方程的系数都是它前面那些方程的根的有理函数，而每个方程ƒi=0都能用根式解出。因之，原来的方程也能用根式解出。

N.H.阿贝尔按照高斯对上述二项方程的处理方法来探讨高次方程的可能性问题，在1826年，他最终证明了，高于4次的一般方程不可能用根式求解。换句话说，对于高于4次的方程不可能有一个像二、 三、四次方程一样的根的一般公式。阿贝尔还考虑了一些特殊方程，他得出一类能够用根式解的方程，这类方程现在称为阿贝尔方程。在他的工作中。阿贝尔引入了域与在给定域中不可约的多项式的概念。阿贝尔然后企图刻画全部能用根式求解的方程的特性，但他过早的病死(1829)而没有能完成这个工作。E.伽罗瓦接过阿贝尔的工作，彻底地、完满地解决了，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论。

伽罗瓦是通过改进拉格朗日的思想去探讨可用根式求解的方程的特性的，和拉格朗日一样，他用了根的置换的概念。对于任意一个n次方程ƒ(x)=xn+α1xn-1+…+αn=0，考虑它的n个根x1，x2，…，xn的置换。大家知道，n个文字的全部置换有n!个，它们组成n阶对称群Sn。这个方程的系数α1，α2，…，αn的全部有理系数的有理分式组成一个域F，用现在的符号F=Q(α1，α2，…，αn)，其中Q是有理数域。在根的置换中，那些保持以F的元素为系数的根的代数关系不变的置换组成Sn的一个子群，这个群现在就称为方程ƒ(x)=0的伽罗瓦群。伽罗瓦的主要结论就是这个群刻画了所给方程的根的代数特性。当时虽然还没有抽象的群与域的名词，伽罗瓦确实用到了群与域这些概念，因而有人把伽罗瓦看成是近代抽象代数的创始人。

以下用现代术语来叙述伽罗瓦理论。

首先简单地介绍一下有关代数扩张的几个概念（见域）。从任意一个域F出发，设ƒ(x)是系数在F中的一个多项式，若ƒ(x)的根不全在F中，则存在一个次数最低的有限扩张E/F使得ƒ(x)在E内完全分解成一次因式的乘积，即ƒ(x)的全部根都在E中，E就是ƒ(x)在F上的分裂域。ƒ(x)的根的代数性质就反映在它的分裂域的代数性质上。

如果F上的一个不可约多项式ƒ(x)在它的分裂域中没有重根，那么ƒ(x)就称为一个可分多项式。否则就称为不可分的。应该指出，在特征为零的域上，所有不可约多项式都是可分的，而不可分的情形只可能出现在特征为p＞0的域上。

设E是域F的一个扩域。若E中每个元素都是F中一个不可约多项式的根，则E就称为F上的一个代数扩张。可以证明，有限扩张一定是代数扩张。如果代数扩张E的每个元素都是F中一个可分多项式的根，那么E就称为F上一可分扩张。设E是F上一代数扩张。如果E具有以下性质：只要F的不可约多项式ƒ(x)在E中有一个根，ƒ(x)的根就全部在E中，那么E就称为F上的一个正规扩张。可以证明，域F的一个有限扩张是正规的，当且仅当它是F中一个多项式的分裂域。

设E是F上的一个有限的可分正规扩张，G是保持F的元素不动的E的全部自同构组成的群。伽罗瓦基本定理包含下列的几个论断：

（1）群G的阶就等于扩张E对于F的次数；

（2）对于G的任意一个子群h，考虑E中全部在h下保持不动的元素，它们构成一个中间域EH，E叾EH叾F，映射hEH是G的全部子群到扩张E的全部中间域的一个一一对应，而且子群h的阶就等于E对中间域EH的次数；

（3）中间域EH是F上的可分正规扩张的充分必要条件为，h是G的正规子群，而且EH相对于F的自同构群与商群G/h同构。

这里的自同构群G通常被称为扩张E对于F的伽罗瓦群。

在伽罗瓦得到这些主要结论之后，可用根式解的方程的刻画就清楚了。设ƒ(x) 是域F上一个不可约多项式，假定它是可分的（在通常的数域上一定是可分的）。作ƒ(x)的分裂域E。E对于F的伽罗瓦群实际上就是ƒ(x)=0的根集上如上规定的置换群。而E叾F的中间域就对应于解方程ƒ(x)=0的一些必要的中间方程。可以证明，方程ƒ(x)=0可用根式解的充分必要条件是E对于F的伽罗瓦群是可解群。由于伽罗瓦证明了当n≥5时n次交错群An是非交换的单群，当然是不可解的，而且一般的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群，因而一般5次和5次以上的方程不可能用根式解就是其一个直接的推论。

用圆规、直尺作图是个古老的问题，伽罗瓦的工作提供了能否作图的一个判别法。由解析几何可以知道，用圆规直尺作图相当于求解两个一次方程或者一个一次与一个二次的方程。总之，为了求解，除了四则运算外，最多是开平方根，因此，可用尺规作图的量只能是这样一种域中的量，这种域是可以从给定的域作一系列的二次扩张得到。由这个基本事实很容易证明，三等分任意角与倍立方的问题用圆规与直尺都是不可解的。至于化圆为方的问题，方程x2=r2π虽然是二次的，但是由于π是超越数，也是不可解的。应该指出，这些著名的几何作图问题在应用伽罗瓦理论之前已经有人解决了。

伽罗瓦理论在1928年已由W.克鲁尔推广到无限的可分正规扩张上，在这个情形，对子群要作适当的限制才有子群与中间域的一一对应。

由伽罗瓦理论，每个有理系数的多项式都决定一个群，即它的伽罗瓦群。一个自然的问题：是否任意一个有限群都同构于一个有理系数多项式的伽罗瓦群。这个问题通常称为伽罗瓦反问题，是一个还没有解决的问题。

参考书目

1. 范德瓦尔登著，丁石孙、曾肯成、郝炳新等译：《代数学》，第1册，科学出版社，北京，1963。(B.L.Waerden，Algebra，Vol.1， Springer-Verlag， Berlin， 1955.)
2. 阿丁著，李同孚译：伽罗华理论》，上海科学技术出版社，上海，1979。(E.Artin，Galoissche Theorie，Univ.of Notre Dame Press， 1948.)