关于勒贝格积分介绍

[拼音]：Lebeige jifen

[外文]：Lebesgue integral

黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。

19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好，用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分，它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

改进R积分的主要想法是要扩大可积函数类，使得原来是R可积函数，按新积分仍可积，且积分值相同，而许多原来不是R可积函数，能按新积分可积。若能合理地扩大可积函数类，也就必然能在积分与极限交换顺序的条件上有某种改进。典型的例子是著名的狄利克雷函数，式中在有理数rn上取值为1，在[0，1]的其余点上的值都是零，和式“”表示对[0，1]中一切有理数求和。显然，每个是R可积的，积分值是零，然而D(x)不是R可积的，自然更谈不上积分与级数求和交换顺序。但若有新的积分，使得D(x)可积，并且积分值是零，那么，按新积分就可交换积分与求和的顺序。

对于［α，b］上有界实函数ƒ(x)和［α， b］上任一分点组D:α=x0<x1<…<xn=b，作大、小和数

称是ƒ(x)在［xi-1，xi］上的振幅。记。ƒ(x)在［α，b］上R可积的充分必要条件是，或等价地，对任何η>0，。这一条件揭示了R 可积函数的本质。D(x)在任何小区间[xi-1，xi]上振幅ωi=1，所以不是R可积的。如果考虑将分点组改在y轴上，例如，对于[α，b]上的有界实函数ƒ(x)(｜ƒ(x)｜<с)，在[-с，с]上取分组点，记

类似于R积分，作和式，式中，｜Ei｜表示集Ei的“长度”。这时，相应于D的大、小和数与的差-，将随着λ(D)趋于零而趋于零。这样就可以避免因函数在任何[xi-1，xi]上频繁振动而出现不可积的情况了。但这也产生了另外的问题：对于复杂的函数ƒ(x)，相应的集Ei是否一定有“长度”｜Ei｜。因此，如要沿上述途径改进R积分，首先就要把过去只对区间有意义的长度概念推广到尽可能多的、复杂的集上去，这就导致了测度概念的出现。

简称l测度，它是区间的长度、矩形的面积、长方体的体积的推广。

对于直线上的开集G，必存在惟一的有限个或可列个互不相交的开区间，使得。利用这个事实，规定G的长度。再利用开集的长度，定义复杂点集的“长度”，即测度。设E是直线上任一点集，称 ，是E的外测度。m*(·)对直线上一切点集都有意义，但还不是长度的理想的推广，例如它不满足可加性(即对两个互不相交集E1和E2，m*(E1∪E2)并不一定等于m*(E1)+m*(E2))。如果一个点集E具有以下性质:对任何自然数n，存在开集Gn，使得Gn叾E，并且，就称E是勒贝格可测集，简称l可测集。l可测集有很多等价定义方式）。直线上l可测集全体记为L。对于L中的E，定义m(E)=m*(E)，称m(·)为(直线上的)l测度。m(·)是区间的长度在复杂的一类集（即L中的集）上的推广。L具有下列基本性质。

（1）空集 、区间I、开集G、闭集都属于L，并且m()=0，m(I)=｜I｜（｜I｜表示区间长度），m(G)=｜G｜。这样，有长度的集必在L中，并且其l测度就是长度。

（2）可列可加性。如果{En}是L中一列互不相交的集，则，并且。

（3）如果E，F∈L，则E-F∈L。特别，当E叾F，并且m(F)<∞时，

m(EF)=m(E)-m(F)。

利用以上三个基本性质，又可推出 L 的一系列其他性质，例如④有限可加性。当E1，E2，…，En∈L时，。再当E1，E2，…，En互不相交时，。

（5）E∈L的充要条件是E的余集Ec(=(-∞，∞)- E)∈L。

（6）单调性。E，F∈L，当E叾F时，必有m(E)≥m(F)。

（7）次可列可加性。如果｛En｝是L中一列集，则，并且。

（8）单调极限交换性。设{En}是L中一列集，如果E1嶅E2嶅…嶅En嶅…，则;如果E1叾E2叾…叾En叾…，且m(E1)<∞，。

此外，L还具有⑨平移、反射不变性。如果E∈L，则（α是任一实数）都属于L，并且m(-E)=m(E+α)=m(E)。

利用上述性质可以举出属于L的一些较复杂的集。例如，单点集{α}可视为［α，α］，而且m(［α， α］)=0；直线上有理点全体Q 是可列集，由②可知Q∈L，并且m(Q)=0;由③可知，[0，1]上无理点全体D∈L，并且m(D)=1；再由 ①、③、⑦可知，直线上任何一列闭集的并集、一列开集的交集都在L中。实际上，直线上一切波莱尔集都在L中。

判断直线上集E 是L 可测集的常用方法有如下几种。

（1）对任何ε>0，存在闭集F嶅E，使得m*(E-F)<ε。

（2）对任何ε>0，存在开集G，闭集F，使得G叾E叾F，且 m(GF)<ε。

（3）对直线上任何集h，都有，这称做卡拉西奥多里条件。

（4）仅当m*(E)<∞的情况，m*(E)=sup{m(F)|F嶅E，F是闭集｝。这些条件中任何一个都可作为l可测集的定义。

因为不是直线上所有集都是L可测的，所以不是每个函数ƒ(x)都具有下列性质：对任何y1<y2，集E={x｜y1≤ƒ(x)<y2}都是l可测集。因此要 引入新的积分，还得引进可测函数概念。

设ƒ(x)是定义在l可测集M上的有限实值函数，如果对任何с<d， 集E={x｜с≤ƒ(x)<d}是l可测集， 那么称ƒ(x)为M上的勒贝格可测函数，简称为l可测函数。常见的等价定义方式有：

（1）对任何实数с，E={x｜ƒ(x)≥с}是l可测集。

（2）对任何实数с，E={x｜ƒ(x)<с}是l可测集。

（3）对任何实数с，E={x|ƒ(x)≤с}是l可测集。

（4）对任何实数с，E={x｜ƒ(x)>с}是l可测集。常用的一些函数，如[α， b]上连续函数、单调函数、阶梯函数、只有有限个或可列个不连续点的函数都是l可测的。[0，1]上的狄利克雷函数也是l可测的。

l可测函数有如下常用的基本性质。

（1）代数性质。如果ƒ，g是M上两个l 可测函数，那么αƒ+βg（α、β都是实数），max(ƒ， g)，min(ƒ， g)，｜ƒ｜，ƒg，（当ƒ是非负函数），ƒ/g(当g不取零值)等都是l可测函数。

（2）极限性质。设{ƒn}是M上一列l可测函数，那么，，（只要它们处处有定义）都是l可测函数。

（3）l可测函数的结构(卢津定理)。如果ƒ是M上的l可测函数，那么对任何ε>0，必有(-∞，∞)上连续函数k，使得集E=｛x｜ƒ(x)≠k(x)，x∈M｝的l 测度m(E)<ε。它是用连续函数刻画可测函数的深刻定理。

“几乎处处”是测度和积分理论中的重要概念。设P是与集M中的点有关的命题，如果使命题P不成立的点的全体E 是l测度等于零的集，就称命题P在M上关于l测度m几乎处处成立。例如函数ƒ、h在M上关于m几乎处处相等，就是指集E={x｜ƒ(x)≠h(x)}的l测度m(E)=0，记为。依此就有狄利克雷函数。又如函数列{ƒn}在M上关于m几乎处处收敛于ƒ，是指集的 l测度m(E)=0，记为。有关“几乎处处”，l可测函数还有下列性质：如果，则ƒ与h同时是l可测或不可测函数；如果{ƒn}是M上一列l可测函数，且，则ƒ必是M上l可测函数。从积分的观点来看，几乎处处相等的函数可视为同一个函数。

几乎处处收敛与一致收敛的差别显然很大，但它们之间仍有如下重要联系（叶戈罗夫定理）:设{ƒn}是M上一列l可测函数，m(M)<∞。如果 ，那么，对任何δ>0，必存在M的l可测子集Eδ，使得m(M-Eδ)<δ，并且{ƒn}在Eδ上一致收敛于ƒ。

设M是l可测集，m(M)<∞，ƒ是M上有界可测函数，|ƒ(x)|<C，(C是正的常数)。任取分点组D: -C =y0<y1 <…<yn=C， 作和式 。其中，，(i= 1， 2，…， n)。记 。如果存在S(ƒ;D)=A，称ƒ在M上勒贝格可积，简称l可积，又称A是ƒ在M上的勒贝格积分，简称l积分，记为。当M 是区间 [α，b] 时，也记，也常用、等来表示。

l积分具有如下性质。

（1）当m(M)<∞时，M上任何有界的l可测函数都是l可积的。特别，狄利克雷函数D(x)是l可积的，并且。

（2）[α，b]上R可积函数ƒ（它必是有界的）必是l可积的，并且两种积分值相同。

（3）如果E是l可测集(m(E)可以无限大)，ƒ是E上非负l可测函数，{En}是满足，并且的一列l 可测集，又{αn}是单调上升趋向无限大的数列，记 ，那么极限与 {En}及{αn}的选取无关。另外，利用③可以定义一般的l可测集E上l可测函数ƒ 的l积分：当ƒ是E上非负l可测函数时，如果③中极限是有限值，就称ƒ在E上l可积，并称这个极限值是ƒ在E上的l积分，记为 。当 ƒ是 E上一般l可测函数时，作， ƒ+和 ƒ-都是非负的，并且ƒ=ƒ +-ƒ -。如果ƒ +，ƒ -都是E上l可积的，就称ƒ在E上l可积，并称为ƒ在E上的l积分，仍记为，这就是直线上最一般的l积分概念。l积分还有如下常用性质。

（4）线性性质。当ƒ，g在E上l可积时，对任何两个实数α和β，αƒ+βg在E上必l可积，并且。 ⑤如果在E上成立，则ƒ在E上l可积的充要条件是g在E上l可积。当ƒ可积时，有。

（6）单调性。如果ƒ，g在E上都是l可积的，并且，则。特别，非负函数的l积分必是非负值。

（7）如果非负函数ƒ的积分，则必在E上。

（8）绝对可积性。ƒ在E上l可积的充分必要条件是｜ƒ｜在E上l可积，并且有。

（9）可列可加性。设{Ei}是一列互不相交的l可测集，则ƒ在上l可积的充要条件是ƒ在每个Ei上l可积，并且。当ƒ在上l可积时，。

（10）全连续性(绝对连续性)。设ƒ在E上l可积，则对任何ε>0，必存在δ>0， 只要E中l可测集e满足m(e)<δ， 就有。积分逼近。如果ƒ是E上l可积函数， 则对任何ε>0，必有(-∞，∞)上连续函数h，阶梯函数φ，使得

。

下面是经常用的三个重要极限定理。列维引理。设{ƒn}是E上一列l可积函数，且。如果，则{ƒn}必在E上关于m几乎处处收敛于某个l可积函数ƒ，并且。法图引理。设{ƒn}是E上一列l可积函数，如果有E上l可积函数h，使得，且，则必在E 上l 可积， 并且 。勒贝格控制收敛定理。设 {ƒn} 是E 上一列 l可积函数，如果有E上l可积函数F，使得(n=1，2，…)，且{ƒn}在E上关于m几乎处处收敛于ƒ，则ƒ必在E上l可积，且。上述三个定理是等价的，即其中之一成立，另两个也必成立。较更常用。

此外，l积分还有一个重要性质。平移、反射不变性。如果ƒ在(-∞，∞)上l可积，则对任何实数α，ƒ(x+α)及 ƒ(-x) 都在 (-∞，∞)上l可积，且。积分的平移、反射不变性产生于l测度的平移、反射不变性，它是建立调和分析理论的基础。

在处理积分与极限交换顺序问题上，l积分所要求的条件(、、中的条件)比R积分所要求的条件（通常是一致收敛）弱得多，因此l积分远比R积分有效。利用l积分的极限定理，还可进一步揭示R可积函数的本质：[α，b]上有界函数ƒ(x)为R可积的充要条件是ƒ(x)的不连续点全体是l测度为零的集。

在l积分理论中，除几乎处处收敛这一个重要收敛概念外，还有两个重要收敛概念。

（1）设{ƒn}是集E上一列l可测函数，如果存在E上函数ƒ，使得对任何，那么称{ƒn}在E上度量收敛或依测度收敛于ƒ。度量收敛在概率论中，具有特别重要的地位。下面是度量收敛的常用性质：设{ƒn}、{gn}是E上l可测函数列，并且分别度量收敛于ƒ和g，则ƒ和g必是E上l可测函数，并且对任何数α和β，在E上度量收敛于 αƒ+βg；如果进一步又假设m(E)<∞，则{ƒngn}在E上度量收敛于 ƒg，而当 gn(n=1，2，…)和g都是几乎处处不等于零的函数时，在E上度量收敛于ƒg-1（在gn或g取值等于零的点上可任意规定 的值）。度量收敛和几乎处处收敛的关系如下：如果{ƒn}在E 上度量收敛于ƒ，那么必有子序列在E上几乎处处收敛于ƒ；当 m(E)<∞ 时，{ƒn}在E上几乎处处收敛于ƒ必也度量收敛于ƒ；而{ƒn}度量收敛于 ƒ当且仅当在任何子序列 中还可找到在E上几乎处处收敛于ƒ 的子序列。

（2）设p>0，如果E上l可测函数ƒ(x)的是l可积的，则称ƒ(x)为E上p次l可积函数。如果{ƒn}是E上一列p 次l可积函数，并且存在E上函数ƒ，使得，则称{ƒn}在E上p 次（积分）平均收敛于ƒ。当n=1，2时，分别简称为积分平均收敛、平方平均收敛。下面是 p次平均收敛常用的性质：设{ƒn}和{gn}在E上分别p次平均收敛于ƒ和g， 则 ƒ 和g必在 E上 p次l可积，并且对任何数α 和β，必在E上p次平均收敛于αƒ+βg；如果{ƒn}在E上p次平均收敛于ƒ，则必有子序列在E上度量收敛于ƒ，从而在中又可以找到一个子序列关于m几乎处处收敛于ƒ，但逆命题不成立。

类似于柯西基本数列，可以引入如下概念：设{ƒn}是E上一列l可测函数(或p次L可积函数)，如果对任何ε>0，-，则称{ƒn}为E上的度量基本序列(或p 次平均基本序列)。和实数的完备性一样，有如下的完备性定理：如果{ƒn}是 E上的度量基本序列（或p 次平均基本序列），则必存在E上的l可测函数(或p 次可积函数)ƒ，使得{ƒn}度量收敛（或p次平均收敛）于ƒ。

类似于直线情况，从 n维空间长方体的“体积”出发可以引出 n维空间中一般点集的外测度、l可测集、l测度m、l可测函数、l积分等概念及其相应的性质。下面以二维空间的情形为例，设E是平面上点集，对每个数x，称集Ex={y｜(x，y)∈E}为E在x的截口。同样，称Ey={x｜(x，y)∈E}为E在y的截口。如果E是平面上l可测集，那么对于几乎所有的x（或y），Ex（或Ey）是y轴上(或 x轴上)的l可测集。如果 ƒ(x，y)是E 上的l 可测函数， 那么对于几乎所有的 x（或 y），ƒx(y)呏ƒ(x，y)（或ƒy(x)呏ƒ(x，y))是Ex(或Ey)上l可测函数。对于平面上l可测函数 ƒ(x，y)，如果ƒ是平面上l可积的(其积分记作)，则对几乎所有的x，ƒx(y)是y 轴上l可积函数，而函数(在ƒx(y)不可积的x上，可任意规定ψ(x)的值)是x 轴上l 可积函数，且。 对调 x 和y地位，类似地也有dx。反之，如果对几乎所有的x，|ƒx（y）|=｜ƒ（x，y）｜是 y轴上l可积函数，并且（对于｜ƒx(y)｜不可积的x，可任意规定φ(x)的值）也是x轴上l可积函数，则ƒ(x，y)是平面上l可积函数。因此，得到，这一结果被称为关于重积分和累次积分的富比尼定理。简单说，就是对n维空间都成立。重积分存在时，两个累次积分必存在，并且相等；反之，只要它的绝对值函数的一个累次积分存在，则重积分也就存在。

由黎曼积分发展出勒贝格积分，由黎曼－斯蒂尔杰斯积分就发展出勒贝格-斯蒂尔杰斯积分(简称为l-S积分)。 设g(x)是(-∞，∞)上单调增加的右连续函数。对于区间I规定它的g长度g(I)如下：g((α，b])=g(b)-g(α)；g((α，b))=g(b-0)-g(α);g([α， b])= g(b)-g(α-0)；g([α， b))=g(b-0)-g(α-0)。特别，当 g(x)呏x时，g长度就是普通长度。利用区间的g长度就可引入直线上开集G的g长度g(G)，以及直线上任何点集E的g外测度。与引入l可测集、l测度一样，只要将m*换成g*，就可定义关于g的l-S可测集，其全体记为Lg。对于E∈Lg ，规定， 称mg为由g(x)产生的l-S测度。同样，可以引入关于g的l-S可测函数和关于g的l-S积分。这些分别简称为关于g的测度，关于g的可测函数，关于g 的积分等。有关l可测集、l测度、l可测函数、l积分的一切性质除去平移、反射不变性以外， 对相应的关于g的可测集、测度、可测函数、积分也成立。

建立高维空间上的 l-S积分理论，一般有两种方式。

（1）乘积测度形式。即设 g1(x)，g2(x)是（-∞，∞）上两个单调增加右连续函数，利用它们可以规定“左开右闭”矩形J=(α，b]×(c，d]的 g1×g2面积：g1×g2(J)=g1((α，b])g2（(с，d]），以及有限个互不相交的“左开右闭”矩形 J1，J2，…，Jn的并集的 g1×g2面积：；利用它们引入平面上任何点集 E 的g1×g2 外测度 ，而J1，J2，…， Jn是互不相交的“左开右闭”矩形}。还可相应地引入 g1×g2可测集，测度 ，可测函数和积分。和l积分一样，对关于 g1×g2 的积分也有重积分和累次积分的富比尼定理，只要将l积分的富比尼定理中x轴、y轴上的l测度分别换成测度、即可。

（2）一般形式。设φ(x，y)是平面上的函数，固定一个变元时，它是另一个变元的右连续函数。如果对任何区间 J = (α，b]×(с，d]，值 ，则称φ(J)为J 的φ面积。由此又可引入平面上任何一个集的φ 外测度φ*和相应的关于φ的可测集、测度m、可测函数及积分。关于φ的积分，一般说来没有相应的富比尼定理。

如果给定直线上两个（或两个以上）单调增加右连续函数 g1(x)，g2(x)，这时相应地就有关于g1，g2的可测集，可测函数，积分等。对于直线上的点集E(或函数ƒ)，可能会发生E(或ƒ)是关于g1可测的，但不是关于g2可测的。所以，在讨论的问题中如果有几个l-S测度、积分同时出现，就很不方便。这就要求有一集类（或一函数类），它一方面包含足够丰富的集（或函数），能够适应代数和极限运算的需要，另一方面它的每个集（或函数）对一切g来说都是可测的。适合这种要求的最理想的类就是波莱尔集类和波莱尔可测函数类（见贝尔函数）。

以直线而论，人们总希望直线上的某个测度，关于它的可测集越多越好。可测集多，意味着可测函数多，从而可积函数也多。从调和分析看，l 测度平移不变性是建立调和分析基础。从逐项积分看，总希望测度具有可列可加性（它与控制收敛等极限定理等价）。所谓测度问题就是直线上是否存在具有下面性质的测度：

（1）具有可列可加性，②直线上所有子集都可测，③具有平移不变性，④［0，1］的测度是非零的有限值。这个问题已经完全解决。结论如下：去掉②、③、④中任何一条，满足其余三条的测度是容易举例说明其存在的。

（1）、②、③、④全都满足的测度是不存在的，特别，直线上必存在不是l可测的集。如果将①换成①′有限可加性，则满足①′、②、③、④的测度是存在的。