关于圆周率介绍

[拼音]：yuanzhoul╇

[外文]：ratio of the circumference of a circle to the diameter

欧几里得平面上圆周与直径的长度之比。它是人类认识到的第一个特殊常数，是人类在测量圆周长和圆面积的各种情况中逐步认识的。古希腊欧几里得的《几何原本》中已提到圆周率是常数。中国古代早有“径一周三”的记载，即认为圆周率是常数了。自1737年L.欧拉用π表示圆周率后，π就成为一个通用符号。此后也通用由圆半径r和圆周率π求圆周长的公式:C=2πr。关于圆面积与圆周率的关系人类也很早就知道了。中国古代数学专著《九章算术》第一章《方田》中求圆田面积，“术曰:半圆半径相乘得积步”。即以半圆周πr和半径r为长和宽的矩形面积就是所求的圆面积S，这正是圆面积公式S=πr2。

数学史上曾采用过圆周率π的各种近似值，现存于世的有关圆周率的最早文字记载是公元前1650年左右在古埃及产生的莱因德纸草书， 其中取。这看来是一个经验值。古希腊阿基米德约在公元前 240年从计算圆内接和外切正多边形周长来确定圆周率的上下界。这是第一个计算π值的方法，后人称为古典方法。阿基米德从正 6边形开始，逐步计算到正96边形周长而得到。他取两位小数确定 π=3.14。约公元150年，C.托勒密在《数学汇编》中给出。这是从该书中记载的圆心角所对弦的长度推算出来的。印度数学家阿耶波多第一约在530年采用π＝3.1416，这可能是从希腊传入的，也可能是他计算了正384边形的周长。1150年前后，婆什迦罗第二给出 π的常用值，“非准确值”，“准确值”，他还给出与托勒密相同的另一个π的值。阿拉伯的卡西约在1427年在他的《圆周论》中计算正 3×228边形周长得出精确到17位数字的π=3.1415926535898732。

中国古代《九章算术》正文用“径一周三”的古率。西汉末刘歆为王莽造铜斛(公元9年)采用π＝3.1547。东汉张衡(78～139)采用计算球体积。三国吴人王蕃（215～257)采用。这些都是经验值。魏人刘徽在注《九章算术》时提出与阿基米德古典方法相类的“割圆术”。他从圆内接正6边形周长是直径的3倍开始，依次割圆，成倍增长内接正多边形的边数。求得内接正2n边形边长l与圆半径r及内接正n边形边长ln的关系：

他还得出圆面积S和圆内接正n边形面积Sn，正2n边形面积S2n满足下列不等式：

。

由此得到圆周率的上下界。他取半径为1尺，由圆内接正6边形面积开始，逐步算得正96边形和正192边形面积为

。

因此，取n=96，有

。

刘徽“弃其余分”，取π＝3.14。他还说:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这说明他已知求更精确的 π值的方法，并具有极限的思想。刘徽之后尚有皮延宗在445年前后取π＝22/7。南北朝时的祖冲之提出圆周率精确到 8位数字的上下界：3.1415926<π<3.1415927。他还提出圆周率的“约率”π=22/7和“密率” π=355/113。后者在数学史上是由他第一个提出的。上面提到的卡西在 800多年后才做出超过他的工作。

在西欧，文艺复兴后，才有人在圆周率π值上做出达到和超过祖冲之的工作。第一个得到祖冲之密率355/113的是德国人V.奥托(1573)。法国F.韦达用古典方法计算到正3×217边形求π值到10位数字(1579)。荷兰L.范.科伦在1596年求到小数点后20位，才超过卡西。

J.H.朗伯在1767年证明圆周率π是无理数，即不能表示成有理分数，因而不会是有限小数或循环小数。F.von林德曼在1882年证明π是超越数，即不是任何一元有理系数多项式的根。从而解决了古代三大几何难题之一──化圆为方不可能用尺规作图作出。

欧拉在1748年出版的《无穷小分析引论》中提出三角函数是对应的函数线与圆半径的比。他同时引入角的弧度制，即取圆半径作为单位，圆心角用其所对的弧长表示。这时平角所对的半圆周长是π。从此以后圆周率π就作为相当于180°的角度值。

韦达在1593年把表示成无穷乘积

英国J.沃利斯在1655年给出

，

1658年由W.布龙克把它变成连分数

，

朗伯特就是利用它证明 π是无理数的。苏格兰J.格雷果里在1671年得出无穷级数

G.W.莱布尼茨在1673年由此得出收敛极慢的级数

J.梅钦利用格雷果里级数的公式

计算π值到100位小数（1706）。W.香克斯在1873年利用梅钦公式计算π值到707位小数，以后长期保持这个记录。但在1946年D.F.弗格森发现香克斯的第 528位错了。他后来和美国J.W.小雷恩在1948年联合发表 808位准确的π值。

电子计算机发明以后，π 值的计算得到飞速的发展。在1949年计算到2037位，1959年计算到16167位，1967年计算到50万位，1974年计算到100万位，1981年计算到200万位，1983年计算到223（800多万）位。

参考书目

1. 李俨、杜石然著：《中国古代数学简史》，第1版，中华书局，北京，1963。
2. 梁宗巨著：《世界数学史简编》，第1版，辽宁人民出版社，沈阳，1980。
3. H.Eves，Introduction to the History of Mathematics， 5th ed.， Saunders College Pub.，Philadelphia， 1981.
4. D.E.Smith，History of Mathematics， Dover，NewYork， 1958.