什么是香农定理

奈奎斯特定理和香农定理是网络传输中的两个基本定理。

要理解这两个定理，首先要理解一些术语的定义:波特率、比特率、带宽、容量、信噪比、电平等。

波特率

符号传输速率，也称为符号率或传输速率。码率，也称为波特率，是指每秒钟信号变化的次数。单位为“波特”，用常用符号“波特”表示，缩写为“B”。

数字脉冲是一种符号。我们用符号率来表示单位时间内信号波形变化的次数，即单位时间内通过信道传输的符号数。如果信号符号宽度为t秒，则符号速率b为:

比特率

比特率又称数据传输速率，定义为单位时间内可以传输的比特数，单位为bps。比特率的计算公式是:

如何理解比特率和波特率的关系？

我们可以假设一个信号只有两个电平状态，那么此时低电平可以解释为“0”，高电平可以解释为“1”，这样每秒的电平变化数就是传输的0，1的个数，即比特率=波特率。但是一些信号可以具有两个以上的电平，例如四级信号状态。那么每个电平可以理解为“00”、“01”、“10”、“11”，这样每次电平变化就可以传输两位数据，即比特率=2 ×波特率。

带宽和容量

让我们看看带宽和容量的概念。一般通道的信号频率最高(注意不是波特率，频率是指每秒的周期数，每个周期会有几次电平变化。。嗯，看区别)和最低信号频率。只有这两个频率之间的信号才能通过这个通道。这两个频率之差称为该通道的带宽，单位为Hz。

渠道的容量呢？

我们知道数据在信道中传输会有它们的速度——比特率，最高的比特率称为这个信道的容量，单位是bps。好像每条高速公路都有它的最高限速，所以所有在里面行驶的车都不会超过这个速度(这里我们假设所有违章的都被警察叔叔抓住了)。

在口语中，信道容量也叫“带宽”，比如“网络带宽10M”、“网络带宽10M”等等。所以这两个概念很容易混淆:我们通常所说的“带宽”并不是带宽，而是信道容量，这一点我们心里应该是清楚的(虽然口头上改变不了)。。)

信噪比(Signal Noise Ratio)

如果我们在嘈杂的市场里对着远处的一个人喊，一定会提高自己声音的音量。我们喊的叫信号，周围环境的声音就是噪音。我们的声音越大(信号的功率越大)，周围环境越安静，噪音越低(噪音的功率越低)，对方能听得越清楚。这说明信噪比的功率比越大，越有利于信号接收。信噪比的功率比称为信噪比，用S/N表示，单位无量纲。由于信噪比有时很大，在一条通信线路的每一个环节都要计算，所以常取其为常用对数乘以10。结果也叫信噪比，但单位是分贝(db)。

电平

系统中某一点的电平是指该点的功率P(或电压U)与某一参考功率P0(或参考电压U0)的分贝比。也就是说，“电平”是指在相同阻抗下，电路中两点或多点的电量的相对比值。这里的电量自然是指“电功率”、“电压”、“电流”并将倍数转换成对数，用分贝表示，记为“dB”。简单地说，电平是两个电压或功率之比的对数形式。例如，如果两个大国P1和P2的数字比是一万倍，那么他们的对数“分贝比”就是:

10lg(P1/P2)=10lg10000=40(分贝)

因为功率P与电压U之间存在如下关系:P = U2/Z .因此，功率P1/P2的分贝比可以根据以下公式换算成电压U1/U2的分贝比:

10克(P1/P2)= 10克(U12/Z1)/(U22/Z2)= 10克(U12 Z2/U22Z1)

= 10lg(U12/U22)= 10lg(U1/U2)2 = 20lg(U1/U2)

即10lg(P/P0)=20lg(U/U0)

所以用幂比表示时，前一次相乘的系数是10；用电压比表示时，前一次相乘的系数是20。

当参考单位P0为1w时，对应的电平为10lg(P/Iw)，单位记为“分贝瓦特DBW”；

当参考单位P0为1mw时，对应的电平为10lg(P/Imw)，单位记为“分贝毫瓦DBMW”；通常，“分贝毫瓦”缩写为“DBM”；

当参考单位U0为1mv时，对应的电平为20lg(U/Imv)，单位记为“分贝毫伏DBMV”；

当参考单位U0为1μv时，对应的电平为20lg(U/Iv)，单位为“dB微伏dBμv”，通常缩写为“dB”。

在介绍了各种术语的定义之后，我们再来看看这两个定理说的是什么。

奈奎斯特定理

1924年，奈奎斯特推导出理想低通信信道中最高符号传输速率的公式:

其中W是理想低通信信道的带宽，单位为Hz；k是多相调制的相位数。奈准则的另一种表述是:理想低通信信道每赫兹带宽的最高符号传输速率为每秒2个符号。如果符号的传输速率超过奈准则给定的值，符号之间就会产生相互干扰，从而无法在接收端正确判断一个符号是1还是0。对于具有理想带通矩形特性(带宽w)的信道，Nye准则变为:理想带通信道的最高符号传输速率= =1WBaud，即每赫兹宽带宽的带通信道的最高符号传输速率为每秒1个符号。奈准则是在理想条件下导出的。在实际条件下，最大符号传输速率小于在理想条件下获得的值。电信技术人员的任务是找出更好的传输符号波形，并在实际条件下将比特转换成更合适的传输信号。

需要注意的是，奈斯勒准则并没有限制信息传输速率(b/s)。为了提高信息传输速率，每个传输的符号必须代表许多比特的信息。这需要一个好的编码技术。

根据奈奎斯特准则，我们可以推断:

(1)给定信道的带宽，确定信道的极限波特率，除非提高信道的带宽，否则不可能传输超过这个极限波特率的符号；

(2)提高信道的比特传输速率有两种方法，一种是提高信道的带宽，另一种是选择更高的编码方式。

示例:假设一个无噪声数字信道用于传输四进制数据信号，带宽为3000Hz，求其信道容量。

奈奎斯特定理适用于无噪声信道，用于计算理论值。针落地还是有声音的，没有噪音的信道在现实中是不存在的。

那么如何计算噪声信道呢？轮到香农理论了！

信息论

1948年，克劳德·艾尔伍德·香农博士在《通信的数学理论》一文中提出了著名的香农理论，为今天通信的发展奠定了坚实的理论基础。

香农理论指出，在噪声和信号独立的高斯白噪声信道中，假设信号功率为S，噪声功率为N，信道通带宽度为W(Hz)，则该信道的信道容量C有:

这是香农信道容量公式。从公式中可以看出，对于一定的信噪比和一定的传输带宽，其传输速率的上限是确定的，这个上限是不能突破的。从香农信道容量公式中可以得出以下结论:

(1)提高信道的信噪比或增加信道的带宽可以增加信道容量。

(2)当信道中的噪声功率n趋于零时，信道容量c趋于无穷大，这意味着无干扰信道的信道容量可以无穷大。

(3)当信道容量C不变时，带宽W和信噪比S/N可以互换，即可以降低带宽，提高信噪比，从而保持原有的信道容量。

(4)信噪比不变时，增加带宽W可以增加信道容量。但当噪声为高斯白噪声时(实际通信系统的背景噪声多为高斯白噪声)，增加带宽也会导致信噪比降低，所以无限增加带宽只能对应有限的信道容量。

示例1:有一个通过调制解调器传输数据信号的电话网络通道。信道带宽为3000Hz，信道噪声为加性高斯白噪声，信噪比为20db。求通道的通道容量。

例2:已知仅加性高斯白噪声的信道容量为33.6Kbit/s，其信噪比为30db。这个模拟通道的带宽是多少？

示例3:考虑一个极端噪声信道，其中信噪比接近于零。换句话说，强噪声使信号变弱。对于该信道，计算其信道容量如下:

也就是说，这个信道上的噪声完全盖过了有效信号，在终端无法识别和还原，所以这个信道不适合数据传输，数据传输容量为0。

香农理论的伟大之处在于它的理论指导意义。香农公式给出了频带利用率的理论极限值，即在带宽和噪声有限的信道中存在一个极限传输速率，无论采用何种编码都无法突破这个极限。此外，香农定律还告诉我们，在一定的信号频带容量下，信噪比和带宽是可以互换的。

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