勾股定理的历史由来简短_勾股定理的前世今生

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为”几何学的基石”。千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统。

I中国古人的智慧

成书于公元前1100年左右的《周髀算经》，原名《周髀》，是中国最古老的天文学和数学著作。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。

《周髀算经》中记载着一段周公向商高请教数学知识的对话，周公问：”天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：”直角三角形的一条直角边’勾’等于3，另一条直角边’股’等于4的时候，那么它的斜边’弦’就必定是5。这个原理早在大禹治水时就总结出来了。” 《周髀算经》中另有”勾股各自乘，并而开方除之”的记载，所以勾股定理又名商高定理。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦。这些文字说明中国古代数学家很早就独立发现了勾股定理。遗憾是，由于年代久远，周公弦图失传，其证明方法”积矩法”的名称也一直未能得到正名。

商高的积矩法

三国时期的吴国数学家赵爽，约在公元222年对《周髀算经》内的勾股定理作了详细注释，记录于《九章算术》中”勾股各自乘，并而开方除之，即弦”。赵爽制作了一幅”勾股圆方图”，其中更是运用数形结合的思想，详细地给出了勾股定理的证明，这个证明被认为是中国数学史上见诸文献的最早的一般性证明。

赵爽的勾股圆方图

赵爽的证明别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

2002年国际数学家大会的会徽

41年后，三国时代魏国的数学家刘徽于公元 263 年为古籍《九章算术》作注释，也提出了一个勾股定理的证明，用的以形证数的方法。刘徽的证明原本也有一幅图，名为青朱出入相补图，可惜图已失传，后人根据其描述作了推想图，如下所示。

刘徽的青朱出入相补图

I古希腊的成就

公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯（约公元前6世纪）最早发现的，所以他就把这个定理称为毕达哥拉斯定理，之后这个定理就在西方学术界流传开，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。

欧几里得的证明方法

相传毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有的政要的晚餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着美丽的正方形大理石地砖。善于观察的毕达哥拉斯凝视脚下这些方形磁砖，他不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和”数”之间的关系，于是拿了画笔蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为”百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们现在只有欧几里得在《几何原本》中的证明方法。

I谁最先发现了勾股定理

勾股定理作为一个基本的几何定理，在很多古文明里都能找到它的影子。远在公元前约三千年的古巴比伦人就可能已经知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。同样某些证据表明，古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。实际上，这些都远远早于毕达哥拉斯。但可惜的是，由于缺乏文献记录、相关旁证等因素，这些证据都只能称之为蛛丝马迹。《周髀算经》中提到远在大禹治水时就可能已发现了勾股定理，就属于这类情况。

《几何原本》

相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有流传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨。甚至于《几何原本》，其来历也是非常神奇。据著名的科技史专家席泽宗考证，欧几里得的《几何原本》是什么样子，很难说清楚。现在用的希腊文本是1808年在梵蒂冈图书馆发现的，据说是公元10世纪的一个手抄本。由于无法肯定它是1400多年前的原物，人们猜测，这个手抄本就是为教几何而编的一个手稿。除了这个版本之外，其余阿拉伯文、拉丁文译本据说都是根据公元4世纪末的一个增订本而来，而这本书是没有图的。一部讲几何学的书没有图，很难想象是什么样子。从考古资料和书写载体上看，古希腊文明的巨著，它们的来源和传承的疑点太多，加上后世各种语言互相翻译，也就是二次创作，所以很难厘清两千年前古希腊文明是个什么形态！如果按照考订《尚书》的标准，这些都是后世的伪作。

真正有据可查的，唯有《周髀算经》，它的记载比毕达哥拉斯早了500多年。《周髀算经》原文记载如下：”昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：’窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：’数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。’” 商高的回答实际上是对勾股定理的最早几何证明，赵爽评价这个陈述”将以施于万事，而此先陈其率也”，汉文化中习惯性以”一生二、二生三、三生万物”、”九九归一”来概括一切现象，而”勾三股四弦五”正是这种文化习惯的表现，并非像某些人理解的那样，以为《周髀算经》仅仅是发现了一个勾股定理的特例。

《周髀算经》

如果剔除具体数字，用纯数学语言描述商高所说，即：将一个矩形对角折叠得到两个直角三角形，矩形宽为勾，长为股，则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦。先将矩形勾边和股边外引正方形，复制折痕的外半边矩形，勾股交错首尾相接环成一个大正方形”共盘”，边长为勾股之和，这个”共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形，简称勾方、股方、弦方。其中勾方加股方为”共盘”减去两个原始矩形，弦方面积为大正方形”共盘”减去用来”环而共盘”的四个前面折叠所得三角形，积为两个原始矩形。这样勾方股方之和与弦方均为”共盘”减去四个直角三角形累积成的两个原始矩形，即勾方股方和等于弦方。这显然是一个放之四海而皆准的一般性证明，不能因为不懂得文言的描述习惯，而刻舟求剑地怀疑古人的智慧。犹如”九九乘法表”，”九九”二字涵盖一切，显然古人并不只知道”九九八十一”，他们对于”三七二十一”也不陌生。

所以不用怀疑，中国的确是最早发现和运用这个定理的国家之一，现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

I勾股定理的重要地位

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

世界著名的网络科普作家塔米姆·安萨利（Tamim Ansary）在其新著（10 Great Scientific Discoveries）中总结了对人类社会发展有重大影响的、最伟大的十个科学发现，这其中唯一的、同时也是居于首位的数学发现就是勾股定理。