求教一道关于有质量d簧旋转的物理竞赛题

为便于叙述将原题中的L改记为L0,伸长后的总长为L（变量）。建立与你描述中的相同坐标轴，取未拉伸的d簧上任一质量元dm，该质元位于（x，x+dx）区间，当d簧拉伸后位于（y，y+dy）。易知dm=λdx
由牛二得：yω^2 =-dT/dm，λyω^2=-dT/dx （1）dT前的负号表示T的方向与轴向相反。
由胡克定律有：-T=k(L-L0) （T的负号仍然表示与坐标轴反向）, -dT=kdL=k(dy-dx), 其中dL表示任一质量元的伸长。代入（1）有：
dy/dx=1+(λω^2/k)y 令λω^2/k=A，积分得：
ln（1+Ay)=Ax+C, x=0, y=0, 有C=0，即ln（1+Ay)=Ax，则x=L0时，
y=L=1/A[exp(AL0)-1]，式中A=λω^2/k。
顺便提一下楼下novalight 朋友的解答，他对楼主第三式的改造是正确的，不过遗漏了T前的负号（不加负号就和第一式中T的定义不同了）。
开始很不解为何他的结果与我不同（即便考虑了负号），仔细看了一下novalight 朋友的推导过程，发现有个疑问，就是在求定积分时一定会涉及到ln0无定义的情况，我不清楚他怎么就将两个ln0抵消了。用极限的观点（广义积分）来看ln0+为负无穷大，两个负无穷大相减也无法直接抵消啊。因此本人倾向于认为，尽管该法的前提都很正确（考虑到T的负号的话），但却无法得出结果（很令人困惑）。我试了一下用广义积分也不行，涉及到求lny/x的极限，这个极限在不知道xy间的函数关系的时候好像无法解决。
以上观点欢迎各位网友批评和进一步讨论，这个问题还是很有意思的。

（1）该问，是电源与两板相连通的，两板电压不变。
原来情况，粒子打在N板中央。设板长为L，粒子进入电场时的初速是 V ，则
a＝qE / m＝q U / (m d )（U是电源电压，q是粒子电量，m是粒子质量）
L / 2＝V t0
d ＝at0^2 / 2
以上三式联立得　d＝[ q U / (m d )](L / 2 V)^2 / 2
d ＝根号[ qUL^2 / (8 mV^2 ) ]
若要粒子刚好飞出电场（电源仍连两板），设此时两板距离是 d1
则　a1＝qE1 / m＝q U / (m d1 )
L ＝V t1
d1 ＝at1^2 / 2
以上三式联立得　d1＝[ q U / (m d1 )](L / V)^2 / 2
d1 ＝根号[ qUL^2 / (2 mV^2 ) ]＝2 d
所以N板应向下移动的距离是
　d1－d＝2d－d＝d（确实是下移距离d）
（2）当断开S后，两板间的电场强度不变（板带电量也不变，在这不证明，若需要，另证）
设两板距离为 d2，粒子刚好从电场飞出。
a2＝qE / m＝q U2 / (m d2 )＝q U / (m d )
L ＝V t2
d2 ＝a2t2^2 / 2
以上三式联立得　d2＝[ q U / (m d )](L / V)^2 / 2
将　d ＝根号[ qUL^2 / (8 mV^2 ) ]　与上式比较　，得
d2＝4 d
所以N板应向下移动的距离是　d2－d＝3d

解题之前，首先认识到，绳子不可以拉长或者缩短，d表示发生的（位移或者时间）；
方法一：根据三角形定律，dl=dxcos？（？为角度）；推导出dl/dt=dx/dtcos？；由于距离除以时间等于速度，所以得出-v=v'cos？；
方法三：r应该理解为变化的长度，同时不能把hj和r画成互为直角，实际上变化的三角形角度是未知量，但是用向量表示的时候，可以不用理会角度问题；由数学的向量公式，r=xi-hj；由速度公式可以得到：v'（船的速度，注意，速度包含方向，反方向时用负号表示）=dr/dt、v（绳子速度）=dx/dt（这里答案应该有误）=> vdt=dx=> r=L零-vt；联合三式解答出结果；此方法运用：1向量公式（变化的位移），2船v’向量公式，3绳子v向量公式；联立解答。

---