n阶导数是什么

所谓n阶导数，其实是指对函数进行n次求导，就求函数的高阶导数中的n阶导数。n阶导数是n-1阶导数函数的斜率，关于n阶导数的常见公式可以分成两类：一类是常见导数，也就是初等函数的特殊形式的n阶导数；另一类是复合函数，包括四则运算的n阶导数公式。常见的n阶导数公式，主要包括幂函数，对数函数，指数函数，三角函数常见形式的n阶导数公式。

常见的n阶导数公式：

1、幂函数常见形式是y=x^n，它的n阶导数是n! n为正整数，而对任何比n小的正整数m，幂函数y=x^m的n阶导数都等于0，包括常数函数的一阶的导数等于0，所以n阶导数也等于0。2、对数函数最常见的形式是y=lnx, 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数，这是因为lnx的一阶导数就是1/x 所以y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)((n-1)!)/x^n。

3、指数函数最常见的形式是y=e^x，它的n阶导数是它本身。另一个形式e^(-x)就要考虑符号性质，它的n阶导数是(-1)^ne^(-x)。

4、三角函数最常用的是sinx和cosx sinx的一阶导数正好是cosx, 而cosx的一阶导数又正好是-sinx 为了将它们统一起来，我们记sinx的一阶导数是sin(x+π/2), 因此它的n阶导数就是sin(x+nπ/2) 又记cosx的一阶导数为cos(x+π/2), 因此cosx的n阶。

在matlab中指数函数是这样表示的，其指数用上三角形“^”加数字来表示。例如：

1、指数函数的底为x，指数为25，则按下列形式来表达

x^25

2、指数函数的底为5，指数为x，则按下列形式来表达

5^x

——习题课

题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域

1、 含指数函数的复合函数的定义域

（1） 由于指数函数y =a x (a >0, 且a ≠1)的定义域是R ，所以函数y =a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同

（2） 对于函数y =f a x (a >0, 且a ≠1)的定义域，关键是找出t =a 的值域哪些部分y =f (t )的定义域中 x ()

2、 含指数函数的复合函数的定义域

（1） 在求形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数值域时，先求得f (x )的值域（即t =f (x )中t 的范围），再根

据y =a t 的单调性列出指数不等式，得出a 的范围，即y =a f (x )的值域 t

（2） 在求形如y =f a x ()(a >0, 且a ≠1)的函数值域时，易知a

x x >0（或根据y =f a x 对x 限定的更加具()体的范围列指数不等式，得出a 的具体范围），然后再t ∈(0, +∞)上，求y =f (t )的值域即可

例求下列函数的定义域和值域

（1）y =0 4

1x -1； （2）y =3； （3）y =-a x

题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式

解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式

（2）a f (x )>a g (x )⇔⎨⎧f (x )>g (x ), a >1 ⎩f (x )>g (x ), 0

2⎛1⎫例（1）解不等式 ⎪⎝2⎭

3x -1≤2； （2）已知a x -3x +10, a ≠1)，求x 的取值范围

题型三：指数函数的最值问题

解题思路：指数函数在定义域R 上是单调函数，因此在R 的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值 需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论

例函数f (x )=a x (a >0, a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大

a ，求a 的值 2

题型四：与指数函数有关的单调性

1、研究形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时，有如下结论：

（1）当a >1时，函数y =a f (x )的单调性与f (x )的单调性相同；

f (x )（2）当0

2、研究形如y =ϕa ()(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时，有如下结论： x

x （1）当a >1时，函数y =ϕa 的单调性与y =ϕ(t )的单调性相同；

x （2）当0

注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域

例1 已知a >0, 且a ≠1，讨论f (x )=a -x

2+3x +2的单调性

2 求下列函数的单调区间

（1）y =a x

2+2x -3； （2）y =10 2-1x

题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用

虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明

1+a 为奇函数，则a 的值为 x 3+1

1(x ∈R )是奇函数，则实数a 的值为 2 已知函数f (x )=a -1+2x

11+(a >0, a ≠1)，判断函数f (x )的奇偶性 3 已知函数f (x )=x a -12例1 已知函数f (x )=

题型六：图像变换的应用

1、平移变换：若已知y =a 的图像，

（1）把y =a 的图像向左平移b 个单位，则得到y =a

（2）把y =a 的图像向右平移b 个单位，则得到y =a

x x x x +b x 的图像； 的图像； x -b （3）把y =a 的图像向上平移b 个单位，可得到y =a +b 的图像；

（4）把y =a 的图像向下平移b 个单位，则得到y =a -b 的图像 x x x

2、对称变换：若已知y =a x 的图像，

（1）函数y =a x 的图像与y =a -x 的图像关于y 轴对称；

（2）函数y =a x 的图像与y =-a x 的图像关于x 轴对称；

（3）函数y =a x 的图像与y =-a -x 的图像关于坐标原点对称

例1 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y =2x 的图像经过怎样的变换得到的

x ①y =2x -1；②y =2x +1；③y =2；④y =2-；⑤y =-2x ；⑥y =-2-x x

2 函数y =x +a 与y =a x (a >0, 且a ≠1)的图像可能是（ ）

A B C D

x 3 若直线y =2a 与函数y =a -1+1(a >0, 且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围

是

　高中数学就不像初中数学那么简单，下面我为大家收集了人教版高中数学课件，供大家参考阅读！

　 一、教材分析

　1、教材的地位和作用：

　函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及指数函数的图像和性质，同时也为今后研究对数函数及其性质打下坚实的基础。因此本节课内容十分重要，它对知识起着承上启下的作用。

　2、教学的重点和难点：

　根据这节课的内容特点及学生的实际情况，我将本节课教学重点定为指数函数的图像、性质及应用，难点定为指数函数性质的发现过程及指数函数与底的关系。

　 二、教学目标分析

　基于对教材的理解和分析，我制定了以下教学目标：

　1、理解指数函数的定义，掌握指数函数图像、性质及其简单应用。

　2、通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合思想和分类讨论思想，增强学生识图用图的能力。

　3、培养学生对知识的严谨科学态度和辩证唯物主义观点。

　 三、教法学法分析

　1、学情分析

　教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也逐步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃敏捷，却缺乏冷静深刻。因此思考问题片面不严谨。

　2、教法分析：基于以上学情分析，我采用先学生讨论，再教师讲授教学方法。一方面培养学生的观察、分析、归纳等思维能力。另一方面用教师的讲授来纠正由于学生思维过分活跃而走入的误区，和弥补知识的不足，达到能力与知识的双重效果。

　3、学法分析

　让学生仔细观察书中给出的实际例子，使他们发现指数函数与现实生活息息相关。再根据高一学生爱动脑懒动手的特点，让学生自己描点画图，画出指数函数的图像，继而用自己的语言总结指数函数的性质，学生经历了探究的过程，培养探究能力和抽象概括的能力。

　 四、教学过程：

　 (一)创设情景

　问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗

　学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为 。

　问题2：折纸问题：让学生动手折纸

　学生回答：①对折的次数 与所得的层数 之间的关系，得出结论

　②对折的次数 与折后面积 之间的关系(记折前纸张面积为1)，得出结论

　问题3：《庄子。天下篇》中写到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

　学生回答：写出取 次后，木棰的剩留量与 与 的函数关系式。

　设计意图：

　(1)让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数① ②

　(2)让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接

　受指数函数的形式。

　 (二)导入新课

　引导学生观察，三个函数中，底数是常数，指数是自变量。

　设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 分别以 的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。

　 (三)新课讲授

　1指数函数的定义

　一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是R。

　的含义：

　设计意图：为 按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，引导学生用区间表示：

　问题：指数函数定义中，为什么规定“ ”如果不这样规定会出现什么情况

　设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的。

　对于底数的分类，可将问题分解为：

　(1)若 会有什么问题(如 ，则在实数范围内相应的函数值不存在)

　(2)若 会有什么问题(对于 ， 都无意义)

　(3)若 又会怎么样( 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要)

　师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定 。

　在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

　设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R;并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。

　教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。

　1：指出下列函数那些是指数函数：

　2：若函数 是指数函数，则

　3：已知 是指数函数，且 ,求函数 的解析式。

　设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。

　2指数函数的图像及性质

　在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

　画函数图象的步骤：列表、描点、连线

　思考如何列表取值

　教师与学生共同作出 图像。

　设计意图：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a对于函数值变化的影响。对于 时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

　利用几何画板演示函数 的图象，观察分析图像的共同特征。由特殊到一般,得出指数函数 的图象特征,进一步得出图象性质：

　教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

　设计意图：这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。

　师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

　特别地，函数值的分布情况如下：

　设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。

　 (四)巩固与练习

　例1： 比较下列各题中两值的大小

　教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

　(1)(2)两题底相同，指数不同，(3)(4)两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

　(5)题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。

　(6)题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。

　例2：已知下列不等式 , 比较 的大小 :

　设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

　 (五)课堂小结

　通过本节课的学习，你学到了哪些知识

　你又掌握了哪些数学思想方法

　你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗

　设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

　 (六)布置作业

　1、练习B组第2题;习题3-1A组第3题

　2、A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗

　3、观察指数函数 的图象，比较 的大小。

所谓n阶导数，其实是指对函数进行n次求导，就求函数的高阶导数中的n阶导数。关于n阶导数的常见公式可以分成两类：一类是常见导数，也就是初等函数的特殊形式的n阶导数；另一类是复合函数，包括四则运算的n阶导数公式。

我们还来了解第一类常见的n阶导数公式，主要包括幂函数，对数函数，指数函数，三角函数常见形式的n阶导数公式。

1、幂函数常见形式是y=x^n，它的n阶导数是n! n为正整数，而对任何比n小的正整数m，幂函数y=x^m的n阶导数都等于0，包括常数函数的一阶的导数等于0，所以n阶导数也等于0

对特殊的幂函数y=1/x, 它的n阶导数是(-1)^n(n!)/x^(n+1); y=1/(1+x)的n阶导数类似的为(-1)^n(n!)/(1+x)^(n+1)；而y=1/(1-x)的n阶导数就会有所变化，它的n阶导数是(n!)/(1-x)^(n+1)

2、对数函数最常见的形式是y=lnx, 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数，这是因为lnx的一阶导数就是1/x 所以y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)((n-1)!)/x^n

一般的对数函数形式是log_a x, 它的一阶导数是1/(xlna), 所以n阶导数是(-1)^(n-1)((n-1)!)/(x^nlna)

3、指数函数最常见的形式是y=e^x，它的n阶导数是它本身。另一个形式e^(-x)就要考虑符号性质，它的n阶导数是(-1)^ne^(-x)

一般的指数函数是a^x，它的一阶导数是a^xlna, 所以n阶函数是a^x(lna)^n

4、三角函数最常用的是sinx和cosx sinx的一阶导数正好是cosx, 而cosx的一阶导数又正好是-sinx 为了将它们统一起来，我们记sinx的一阶导数是sin(x+π/2), 因此它的n阶导数就是sin(x+nπ/2) 又记cosx的一阶导数为cos(x+π/2), 因此cosx的n阶导数就是cos(x+nπ/2)

有了这些常见的函数的n阶导数公式，我们就可以求复合函数的n阶导数公式中直接运用了。以下为了介绍四则运算和复合函数的求导公式，设函数f(x),g(x)n阶可导，则n阶求导公式包括：

1、和差的n阶求导公式：(f+g)^(n)=f^(n)+g^(n), 及(f-g)^(n)=f^(n)-g^(n)。即和差的n阶导数等于两个函数的n阶导数的和差。

2、积的n阶求导公式：(fg)^(n)=C(n,0)fg^(n)+C(n,1)f'g^(n-1)+…+C(n,n)f^(n)g

3、商的n阶求导公式看作被除的函数乘以除的函数的倒数的积，转化为积的求n阶导数问题。

4、复合函数f(g(x))的一阶导数是f'(g(x))g'(x)，因此，从二阶导数开始，也转化为积的求n-1阶导数问题。

高中函数ln代表对数函数，e代表指数函数。

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

作为实数变量x的函数，它的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。

一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

-指数函数

                        -对数函数

指数函数(exponential function)的标准式形式为

Y=aebX (1229)

对式（1229）两边取对数，得lnY=lna+bX (1230)

b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。见图124(a)、(b)。当以lnY和X绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用指数函数来描述Y与X间的非线性关系，lna和b分别为截距和斜率。

更一般的指数函数

Y=aebX+k (1231)

式中k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。 对数函数（lograrithmic function）的标准式形式为

Y=a+blnX (X>0) (1232)

b>0时，Y随X增大而增大，先快后慢；b<0时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图124(c)、(d)。当以Y和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。

更一般的对数函数

Y=a+bln(X+k) (1233)

式中k为一常量，往往未知。

(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)Y=a+blnX(d)Y=a-blnX 幂函数（power function）的标准式形式为

Y=aXb(a>0,X>0) (1234)

式中b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。

对式（1234）两边取对数，得

lnY=lna+blnX(1235)

所以，当以lnY和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用幂函数来描述Y和X间的非线性关系，lna和b分别是截距和斜率。

更一般的幂函数

Y=aXb+k (1236)

式中k为一常量，往往未知。