函数对x的偏导数与函数对y的偏导数有什么关系么

对于函数z=f(x,y)偏导存在，指的是：

∂z/∂x=lim(Δx→0)

[f(x+Δx，y)-f(x,y)]/Δx存在

∂z/∂y=lim(Δy→0)

[f(x，y+Δy)-f(x,y)]/Δy存在

上述存在，和∂z/∂x=∂z/∂y是风马牛不相及的，两者没有任何关系！

如果是一元函数就用导数

如果是多元函数就用偏导数

一元和多元函数分别有下面几种表示方法

一元 ：

y=f(x) \ y=y(x)

例如 y = 2x

y=y(x) , x=x(t) \ y=y(t) ,x = x(t)

例如 y=sinx， x= 2t 这个等价于 y= sin2t x=2t 是参数方程，但也是一元函数

f(y,x)=g(y,x) 这是隐函数， 比如 y^2 + 3x = siny +x 注意这个是一元函数

y=y(u,v) , u=u(x),v=v(x)

比如 y= 2u+v^2 ,u=x+1 ,v= x^2

以上都表示一元函数

多元函数：

z=z(x,y) \ z=f(x,y)

例如 z = x + 2y

z=z(u,v) u=u(x,y) , v=v(x,y)

例如 z=u+v , u=2x+y,v=y

我这里写的 y=y(x) 和 y=f(x) 是一个意思，高等数学习惯用前者

求导和求偏导的表达式：dy/dt=dy/dx·dx/dt。

dy/dx，表示y对x求导，即y'=dy/dx。

如y=3x²+2x则dy/dx=6x+2一般写作y'=6x+2。

u对y偏导：partialu/partialy，但u对v，t的偏导又不一样了，原因是x，y里都有v，t。这时也要用到链式法。

则：u对v偏导：partialu/partialx·partialx/partialv+partialu/partialy·partialy/partialv，v变化了，x，y也跟着v变，x，y变化又影响到u，所以u也受到影响，耐不住寂寞，u就变了；u对t求偏导的解释一样。

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。对某个变量求偏导数。就把别的变量都看作常数即可。比如f(x,y)=x^2+2xy+y^2

对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y (x)'=2x+2y

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x0上产生一个增量h时，函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限如果存在，即为f在x0处的导数。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

扩展资料：

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

参考资料：

偏导数由极限定义。根据定义写出某点（x0，Y0）偏导数的极限表达式。此时极限的存在性与偏导数的存在性是一致的，因此证明偏导数存在性的任务被转化为证明极限的存在性。扩展数据，为了验证偏导数的存在性，此类问题通常证明在某一点上存在偏导数。请注意，此时不能使用推导公式。

以一元函数为例，这是因为由求导公式计算的导数函数f’（x）通常包含不连续性，而不连续性x0处的f’（x）是无意义的。例如，FY（x，y）是点（x，y）处y的偏导数。应该注意的是，这里x被视为一个常数。如果需要y在（0,0）处的偏导数，首先将x固定到x=0，即首先找到FY（0，y）=[4（y^3）e^（y^2）]/（y^2）=4ye^（y^2），然后替换y=0得到FY（0，0）=401=0。

多变量函数的偏导数是其对一个变量的导数，同时保持其他变量不变（相对于全导数，允许所有变量发生变化）。偏导数在向量分析和微分几何中很有用。偏导数函数的定义是，如果Z=f（x，y）对x的偏导数存在于D区域的每个点（x，y），则该偏导数是x，y的函数，称为函数Z=f（x，y）对自变量x的偏导数。

类似地，对于Y的偏导数函数，应该注意，偏导数函数不仅可以在某一点上偏置，而且可以在某一区域的D上偏置。如果z=f（x，y）在P（x，y）处有偏导数，则点P必须属于区域D，即区域D。因此，我们自然可以认为P点的某个域属于D区域，因此P点的某个域中也必然存在偏导数函数。