《量子力学》波函数与薛定谔方程

选自曾谨言

小记：从实空间到倒空间，是顺时针，乘上 。

对于普通的单色平面波有， 其傅里叶变换则有

如果是Gauss波包，其傅里叶变换也是一个波包。且波包宽度 和 之间满足不确定性关系。

除此以外，傅里叶变换可以保留波函数的归一化性质。

相速度： 等相面运动的速度

群速度： 波包中心的运动速度

总结：相速度是相位的移动速度，实际上就是振幅的传播速度。

而群速度是振幅的变化的移动速度，可以理解为波包的传播速度。

推广到de Brogile波，有 ，可得

发现，物质波的群速度就是经典粒子的运动速度。

同样，一个物质波可以看做一个波包，由多个单色平面波叠加而成。因此，根据de Brogile关系，可以认为

，能量（动量）是不确定的，具有一个分布。波包的概念天然得适应不确定性关系。

推导思路：

色散关系可以用Taylor展开式展开到二阶，代入到波包的单色平面波傅里叶展开式中。波包可以简单取Gauss波包(k空间)，得到最终 ，计算其强度分布 和宽度 ，发现宽度是随着时间不断增大的，即不断扩散。

基于这个结论，我们发现，物质波的色散关系是存在二阶项系数的，这就意味着，物质波包必然要扩散，这是反常理的。

波函数的统计诠释： 正比于在该点附近小体积元处找到粒子的概率，该统计诠释解决了物质波包扩散、单个电子波动性、粒子性与波动性统一的问题 。

实际上，电子表现出的粒子性只是其中一部分：即有确切的质量、电荷，但是并不意味着有确定运动轨道；电子的波动性也只是相干叠加性。

波函数根据统计诠释，有 归一化条件 ： 同时，由于我们更关注相对的概率分布，因此，通常表示为平方可积条件：

除了相对概率，波函数还存在 相位不定性 ，即系数乘上 依然是归一化的，所以我们认为相位有无，其都描述的是同一个概率波。

对于多粒子体系，其波函数表示为 ，即多维位形空间中的概率波。

入射粒子可以看做是一个物质波波包，由许多单色平面波叠加而成。而动量具有关系 ，

因此，我们可以将波函数进行平面波（按照动量）展开，有 其具有对应的逆变换就是 ， 就代表了波函数 中所含平面波 的成分。

实验实现粒子的动量分布测量 ：电子衍射实验有 ，即衍射出射角度 与入射粒子的动量 有关。而该动量的概率就是入射波的对应Fourier分波波幅 ，其越大，则衍射强度越大。所以我们可以根据衍射波谱得到衍射前粒子动量的分布概率。

从初中到现在的学生生涯里，我感觉到，对于概念的理解在物理学习中是非常重要的，尤其是对一些核心概念的理解，如加速度，势能，波动，散射等。这些概念看似简单，而且在教材中反复出现。但就我自己的经历而言，我在学习这些核心概念的过程中，却遇到过很多的挫折。例如对平面电磁波（本科电磁学教材）的理解，我本科接触的时候自认为理解了，而且考试做题也基本正确。但当我在研一时再对平面电磁波的表达式进行解读时，却发现了一些以前不理解的东西。而且，核心概念通常又参与构成一些新的知识点（例如要理解光的干涉这个知识点必须建立在理解波动这个核心概念的基础上）。若对核心概念理解不足，将可能使得我们对后续的新知识的学习产生困难。

当然，对核心概念的理解是有层次之分的，到了什么层次才算理解到位了，不同人在不同的阶段有着不同的定义。

下面我将举几个实际的例子说明概念学习的重要性。

例子一：对于“波动”的理解将牵扯到对于“光的干涉”，“光的衍射”，“麦克斯韦方程组”，“德布罗意关系”，“布洛赫定理（固体物理中）”等等的理解。

例子二：对于“傅里叶变换”（这是一个数学概念）的理解将牵扯到对于“倒空间（固体物理中）”，“动量空间（量子力学）”等等的理解。

例子三：对于“正交”（即使这个概念看起来似乎很简单）的理解将牵扯到“傅立叶变换”的理解，进而牵扯到例子二上去。

例子四：对于“分布”（即使这个概念看起来似乎也很简单）的理解将牵扯到“玻尔兹曼分布（统计物理中）”，“麦克斯韦速率分布（热学中）”，“力学量的平均值（量子力学中）”，“散射截面（理论力学中）”，“波函数按本征函数的展开（量子力学中）”等的理解。

可见在知识的吸收过程中，概念学习扮演了重要的地位。在学习的过程中，我们不断地刷新对这些概念的认识，不断地产生疑惑，又不断地进行回答。

希尔伯特变换：是一种数学变换，将一个实函数转换成另一个实函数，并在信号处理和数学物理等领域广泛应用。

1希尔伯特变换的基本定义和特点

希尔伯特变换是通过傅里叶变换来定义的，是在复平面上对原函数进行傅里叶变换之后，乘以一个符号函数（即单位圆上相位角为π/2的点）之后再进行逆傅里叶变换，得到的一种新函数变换。

在这个过程中，实函数被转换成了一种称为“解析信号”的复函数，具有很多重要的特点，比如幅度谱为原始信号的绝对值，相位谱与原始信号的相位差只相差一个90度的恒定相位差等。

2希尔伯特变换在信号处理中的应用

希尔伯特变换常常与传统的傅里叶变换一起使用，用于分析非稳态信号、带通滤波、单边带调制等方面。其中，对于非稳态信号，希尔伯特变换可以方便地提取出包络，从而更好地进行分析。

对于带通滤波，则可以通过构造合适的滤波器对原始信号进行相关处理；而对于单边带调制，则有广泛的应用领域，比如在无线电通信领域中可以实现频谱的经济利用。

3希尔伯特变换在数学物理中的应用

希尔伯特变换在数学和物理领域中也有广泛的应用，比如在量子力学领域中有着重要的地位。在量子力学中，希尔伯特变换被称为“幺正变换”，其作用是将一个势能空间转化为哈密顿空间，并将波函数从坐标空间转化为动量空间。

此外，在一些复杂的微分方程求解问题中，希尔伯特变换也可以起到很好的作用，比如可以把高阶导数的求解问题转化为低阶导数的问题，使得求解更加方便。

4希尔伯特变换发展及其应用前景

希尔伯特变换的发展具有一定的历史价值，其在研究分析奇异积分方程、古典和量子力学等方面都具有很高的应用价值。随着计算机技术的不断发展，希尔伯特变换在各个领域的应用也将得到更加广泛和深入的发展。

比如，在音频信号处理、图像处理、视频处理等领域，希尔伯特变换可以实现有效的信号提取和降噪；在地球物理勘探等方面，希尔伯特变换可以用于地震波分析和成像等方面。

德布罗意波函数是可以证明不确定性原理的方法之一。

根据德布罗意假说，物体是物质波，这性质称为波粒二象性。粒子的位置可以用波函数描述。假设这波函数的空间部分是单色平面波，以方程表示

；

其中，是波数，是动量。

玻恩定则（Born rule）表明，波函数可以用来计算概率，在位置与之间找到粒子的概率为

。

对于单色平面波案例，是均匀分布，这粒子的位置极端不确定，因为，它在与之间任意位置的概率都一样。

假设某波函数是很多正弦波的叠加：

；

其中，系数是动量为的粒子模态的贡献。

取连续性极限，波函数是所有可能模态的积分：

；

其中，是这些连续性模态的数值，称为动量空间的波函数。

以数学术语表达，的傅里叶变换是，位置与动量是共轭对偶。将这些平面波叠加在一起的副作用是动量的不确定性变大，是很多不同动量的平面波组成的混合波。标准差定量地描述位置与动量的不确定性。粒子位置的概率密度函数可以用来计算其标准差。使用更多平面波，可以减低位置的不确定性，即减低，但也因此增加动量的不确定性，即增加。这就是不确定性原理的概念。